Modellbildung TU 2019
Dinge die man im Kopf haben sollte, auch wenn sie möglicherweise auf der Formelsammlung stehen.
Dinge die man im Kopf haben sollte, auch wenn sie möglicherweise auf der Formelsammlung stehen.
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Cartes-fiches
Schwerpunkt berechnen
\(\vec{r}_s = \frac{1}{m} \displaystyle \int_{\partial V} \vec{r} \varrho(x,y,z) \mathrm{d}V \\ r_x = \frac{1}{m} \displaystyle \int_{\partial V} x \varrho(x,y,z) \mathrm{d}V\)
Bei Integration über Koordinaten, welche von anderen Koordinaten abhängen muss man auf die Reihenfolge achten!
Berechnung des Drehmoments
- Festlegung von geeingnetem Betrachtungspunkt B (dort können unbekannte Kräfte wirken, da diese nicht einfließen)
- Abstand bestimmen, sodass Kraft senkrecht zum Abstandsvektor gerichtet ist.
- \(\vec{\tau}_F = \vec{r}_{BF} \times \vec{f}_F\) wobei F der Punkt ist, an dem die Kraft f wirkt
Federkraft in Richtung Feder
Definition mit Potentieller Energie V
\(F = c \cdot (l - l_0) \\ V_F = \frac{c \cdot (l-l_0)^2}{2}\)
2. Newtonsche Gesetz
Impulserhaltung
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\partial t}\vec{p} =\frac{\mathrm{d}}{\partial t}(m \vec{v}) = m \vec{a} = \vec{f}\)
Die Änderung des Impulses ist die Kraft.
Das 1. Newtonsche Gesetz ist der rechteste Teil der obigen Gleichung...
Einheit der Wärmekapazität c_p
\([c_p] = \displaystyle \frac{J}{kg\cdot K} \\ c_p = \frac{\Delta Q}{m \cdot \Delta T}\)
Die Änderung des Energieinhaltes pro (Masse mal Änderung der Temperatur)
Wärmeübergangskoeffizient alpha
Der Wärmeübergangskoeffizient gibt an, wie gut die Wärme zwischen zwei unterschiedlichen Materialien vonstatten geht.
\([\alpha] = \frac{W}{m^2 \cdot K} = \frac{J/s}{ m^2 \cdot K}\)
Wärmeleitfähigkeit lambda
Stoffeigenschaft die angibt wie gut etwas Wärme leitet bzw isoliert.
\([\lambda] = \frac{W}{m\cdot K} = \frac{J/s}{m\cdot K}\)
Temperaturleitfähigkeit a
Aus Stoffeigenschaften zusammengesetzte Stoffeigenschaft die in der Wärmeleitungsgleichung zum Einsatz.
\(a = \displaystyle \frac{\lambda}{\varrho \cdot c_p} \\ [a] = \frac{m^2}{s}\)
mit der Wärmeleitfähigkeit, spezifischer Dichte und der spezifischen Wärmekapazität
Vorzeichen der Potentiellen Energie von Masse unterhalb der x-Achse?
MINUS!
Kinetische Energie T
\(T = T_{trans} + T_{rot}\)
Ein sich nur um seinen Schwerpunkt drehender Körper besitzt nur T_rot.
Ein sich nur verschiebender Körper besitzt nur T_trans.
Für Körper welche sich nicht um ihren Schwerpunkt drehen gibt es beide Anteile.
Mit dem Satz von Steiner lasst sich ein neues Trägheitsmoment bestimmen, sodass T_tras "wegfällt", wobei sich eigentlich der Anteil dann im neuen verschobenen Trägheitsmoment befindet.
Dämpferkraft
Definition
Kraft ist propotional zur Geschwindigkeit
\(F_d = D \cdot v\)
mit dämpferkonstanten D.
Der Dämpfer speichert keine Energie
Bei der Parallelschaltung von Dämpfern, werden diese Addiert.
Potentielle Energie V
Die Potentielle Energie setzt sich zusammen aus:
\(V = V_m + V_f \\ V_m = m \cdot g \cdot h \\ V_f = \frac{c \cdot (l - l_0)^2}{2}\)
Aus den potentiellen Energien der Massen und den in den Federn gespeicherten Energien.
Bewegungsgleichung
\(\displaystyle M \ddot{q} +D \dot q + Cq = f_e \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = f_{q,i} + f_{d,i} \\ \displaystyle \vec{f}_q = \left( \frac{\partial \vec{r}_e}{\partial \vec{q}} \right)^T\vec{f}_e\\ L = T-V\)
LTV ist auch deren Reihenfolge im Alphabet
Außerdem sind auch ZUSÄTZLICHE Momente an den Freiheitsgraden dazuzuadieren bei f_q
Haft und Gleitreibung
Bei Haftreibung gilt, dass der Körper haften bleibt, bis die Haftreibungskraft überwunden ist.
sobald der Körper gleitet, muss nurmehr die Gleitreibungskraft aufgebracht werden, welche immer kleiner ist.
\(F_{R,H} \leq \mu_H F_N \\ F_{R,H_{max}} = \mu_H F_N \\ F_{R,G} = \mu_G F_N \)
Solange F_R,H kleiner gleich µF_n ist, haftet der Körper.
µ_G ist kleiner als µ_H
Winkelgeschwindigkeit
\(\omega = \frac{v}{r}\)
Zentrifugalkraft
\(F_Z = m\cdot l \cdot \omega^2\)
Von den Einheiten her ist l * omega^2 eine Beschleunigung
Federkräfte von zwei Federn zu einer machen.
\(\mathrm{Parallel:}\\c_{ges} = c_1 + c_2 \\ \; \\ \mathrm{Serie:}\\ \displaystyle \frac{1}{c_{ges}} = \frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} \qquad s_{0,ges} = s_{01} + s_{02}\)
Federn verhalten sich von der Steifigkeit wie Kondensatoren
Freiheitsgrad Berechnung
Eine Punktmasse hat im 3d-Raum 3 Freiheitsgrade. Pro Zwangsbedíngung reduziert sich das um einen.
2 Punktmassen haben 2 * 3 Freiheitsgrade...
Körper haben auch noch Rotationsfreiheitsgrade.
Drehmatrix was ist ist sie und wie wird sie aufgestellt
Die Drehmatrix ist jene Matrix, welche dem Basisvektor [r_x r_y r_z] vorangestellt werden muss um auf einen von phi abhängigen allgemeinen Ausdruck von r zu kommen.
Generalisierte Kraft
Berechnung
Externe Kräfte in x- und y-Richtung aufspalten
Den Ortsvektor zum Kraft-Angriffspunkt aufstellen.
Diesen Ortsvektor nach den Freiheitsgraden ableiten und danach Transponieren.
Die Transponierte Ableitung nun mit dem Kraftvektor multiplizieren.
Der Entstandene Vektor hat genausoviele Zeilen wie es Freiheitsgrade gibt!
\(\left( \frac{\partial \vec{r}_F}{\partial \vec{q}} \right)^T = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial q_1} & \frac{\partial y}{\partial q_1} \\ \frac{\partial x}{\partial q_2} & \frac{\partial y}{\partial q_2} \\ \frac{\partial x}{\partial q_3} & \frac{\partial y}{\partial q_3} \end{bmatrix} \)
Die bereits transponierte Matrix sieht so aus und muss nurmehr mit dem Kraftvektor multipliziert werden...
Hierbei vergisst man oft den Betrag der Kraft wenn vor den Vektor gehoben...
Hierzu werden dann auch noch Konstante dazuaddiert, wie zB Momente an Freiheitsgraden!
Cosinussatz für allgemeine Dreiecke
\(a^2 = b^2 + c^2 -2 ab \cdot \cos(\alpha)\)
sicocosi und cocosisi Zusammenhänge
sico-cosi gleiches Vorzeichen zwischen alpha und beta
coco-sisi das andere Vorzeichen zwischen alpha und beta
Temperaturabnahme bei Kugel
\(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial r} =\frac{c}{r^2} \\ \displaystyle T(r) = \int \frac{c}{r^2} \mathrm{d}r\)
über Integration kommt man zur Temperatur bei gewissem Radius
Wärmestromdichte \dot{q}
\([\dot{q}] = \frac{W}{m^2} = \frac{J/s}{m^2} \\ \displaystyle \dot{q} = \lambda \frac{\partial T}{\partial r}\) vor dem Lambda gehört ein Minus
2x2-Matrix Invertieren
\(M^{-1} = \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} ^{-1} = \\ = \displaystyle \frac{1}{det(M)} \cdot \begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \end{bmatrix}\)
Vorhandensein unbekannter Kräfte
Wenn unbekannte Kräfte gegeben sind, kann man das Kräftegleichtgewicht aufstellen und Null setzen.
Es ergänzt sich alles zu Null....
Massenträgheitsmoment um Schwerpunkt
\(\theta_z = \displaystyle \varrho \int (x^2 + y^2 ) \mathrm{d}V\)Integralgrenzen von Schwerpunkt aus setzen!
Bedeutung der Stationarität
Ableitungen nach der Zeit verschwinden.
Zum Beispiel gilt dann möglicherweise auch
\(\dot{q} _{konvekt} + \dot q _{strahl} = 0\)
Trägheitsmoment von Massepunkten
Massepunkte besitzen kein Trägheitsmoment
Wämeleitungsgleichungen bestimmen
Oft durch 2 mal integrieren und einsetzen der Randbedingungen zu lösen!
Oft sind auch manche RB nach der ersten Integration schon einzusetzen.
Koordinatenursprung... was ist dabei zu beachten?
Wo er liegt, und was für Richtungen es gibt...
Trägheitsmoment Einheit und Berechnung
\([\theta] = kg \cdot m^2 \\ \displaystyle \theta_{zz} = \varrho \int_{V} r^2 \mathrm{d}V = \frac{m}{l} \int_C r^2 \mathrm{d}r\)
Bei der Berechnung des Trägheitsmoments, muss man die Integralgrenzen vom Schwerpunkt aus setzen.
Hängen die Haftreibungskoeffizienten von den Massen ab?
NEIN! Darum ist es auch egal wie schwer etwas ist, solange die Haftbedingung erfüllt ist.
DGL 1.Ordnung Lösen der Form
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = - \alpha(T-T_\infty)\)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = - \alpha(T-T_\infty) \\ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{1}{(T-T_\infty)} \mathrm{d}t = \int -\alpha \; \mathrm{d}t \\ \displaystyle \int \frac{1}{(T-T_\infty)} \mathrm{d}T = \int -\alpha \; \mathrm{d}t \\ \ln(T-T_\infty) = - \alpha t + C \\ T = e^{- \alpha t} e^C + T_\infty\)
P im Thermischen Ersatzschaltbild
Da die Einheit von P und die von \dot{Q} W entspricht, ist es klar, dass es sich um eine Stromquelle handelt.
Möglichkeiten die Wärmeleitgleichung als Differentialgleichung aufzustellen
Je nach Angabe ergibt sich eine DGL nach der Zeit oder nach dem Ort.
Wegabhängiges Lambda in Wärmeleitproblemen mehrschichtiger Wände
Einzelne l/lambda Terme können bei Wegabhängigen lambdas über den Weg aufintegriert werden!
Gesamtwärmekapazität nach Mischung von c_1 und c_2 im Verhältnis beta
\(\frac{V_2}{V_1} = \beta \\ \displaystyle c_{gesamt} = \frac{c_1 V_1 + c_2 V_2}{V_1 + V_2}\)
Potentielle Energie in Feder
\(\displaystyle V_{pot,F} = \int_{x0}^{x_a} F_{Feder} \; \mathrm{dx}\)
Trägheitsmomente von speziellen homogenen Massen
Dünner Stab
\(\displaystyle I_d = \frac{ml^2}{12}\)
Quader um Achse durch den Umkreismittelpunkt
\(\displaystyle I_U = \frac{m \cdot (b^2 + h^2)}{12}\)
