Modellbildung TU 2019

Wenn unbekannte Kräfte gegeben sind, kann man das Kräftegleichtgewicht aufstellen und Null setzen.

Es ergänzt sich alles zu Null....

\(\theta_z = \displaystyle \varrho \int (x^2 + y^2 ) \mathrm{d}V\)Integralgrenzen von Schwerpunkt aus setzen!

Ableitungen nach der Zeit verschwinden. 

Zum Beispiel gilt dann möglicherweise auch 
\(\dot{q} _{konvekt} + \dot q _{strahl} = 0\)

Massepunkte besitzen kein Trägheitsmoment

Oft durch 2 mal integrieren und einsetzen der Randbedingungen zu lösen!
Oft sind auch manche RB nach der ersten Integration schon einzusetzen.

Wo er liegt, und was für Richtungen es gibt...

\([\theta] = kg \cdot m^2 \\ \displaystyle \theta_{zz} = \varrho \int_{V} r^2 \mathrm{d}V = \frac{m}{l} \int_C r^2 \mathrm{d}r\)

Bei der Berechnung des Trägheitsmoments, muss man die Integralgrenzen vom Schwerpunkt aus setzen.

NEIN! Darum ist es auch egal wie schwer etwas ist, solange die Haftbedingung erfüllt ist.

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = - \alpha(T-T_\infty) \\ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{1}{(T-T_\infty)} \mathrm{d}t = \int -\alpha \; \mathrm{d}t \\ \displaystyle \int \frac{1}{(T-T_\infty)} \mathrm{d}T = \int -\alpha \; \mathrm{d}t \\ \ln(T-T_\infty) = - \alpha t + C \\ T = e^{- \alpha t} e^C + T_\infty\)

Da die Einheit von P und die von \dot{Q} W entspricht, ist es klar, dass es sich um eine Stromquelle handelt.

Je nach Angabe ergibt sich eine DGL nach der Zeit oder nach dem Ort.

Einzelne l/lambda Terme können bei Wegabhängigen lambdas über den Weg aufintegriert werden!

\(\frac{V_2}{V_1} = \beta \\ \displaystyle c_{gesamt} = \frac{c_1 V_1 + c_2 V_2}{V_1 + V_2}\)

\(\displaystyle V_{pot,F} = \int_{x0}^{x_a} F_{Feder} \; \mathrm{dx}\)

Dünner Stab
\(\displaystyle I_d = \frac{ml^2}{12}\)

Quader um Achse durch den Umkreismittelpunkt
\(\displaystyle I_U = \frac{m \cdot (b^2 + h^2)}{12}\)

Bei Wärmestromberechnung muss man aufpassen, welche Temperatur man einsetzt.

Bei Konvektion die Temperatur des Umgebenden Materials,

bei Strahlung, die Temperatur der anderen Flächen!

Bei Temperaturfußbodenheizung wird die Umgebung sukzessive an die Heiztemperatur angeglichen.

Bei der elektrischen Heizung wird konstant eine gewisse Leistung übertragen, egal wie heiß der Heizraum schon ist.

Siehe Ersatz-RLC Schaltbild. T entspricht Spannungsquelle; P entspricht Stromquelle

\([R_{th}] = \frac{K}{W} \\\displaystyle R_{th} = \frac{l}{\lambda A}\)

Je Länger das Bauteil desto größer der Widerstand.
Je größer die Fläche desto kleiner!

\(\displaystyle T_g = \frac{\sum_i ^n c_i m_i T_i }{\sum_i ^n c_i m_i }\)

\(C_{th} = c_{ph} \cdot m \\ [C] =\frac{J}{kg \cdot K} \cdot kg = \frac{J}{K}\)

• Festlegung von geeingnetem Betrachtungspunkt B (dort können unbekannte Kräfte wirken, da diese nicht einfließen)
• Abstand bestimmen, sodass Kraft senkrecht zum Abstandsvektor gerichtet ist.
• \(\vec{\tau}_F = \vec{r}_{BF} \times \vec{f}_F\) wobei F der Punkt ist, an dem die Kraft f wirkt

\(F = c \cdot (l - l_0) \\ V_F = \frac{c \cdot (l-l_0)^2}{2}\)

Impulserhaltung
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\partial t}\vec{p} =\frac{\mathrm{d}}{\partial t}(m \vec{v}) = m \vec{a} = \vec{f}\)

Die Änderung des Impulses ist die Kraft.
Das 1. Newtonsche Gesetz ist der rechteste Teil der obigen Gleichung...

\([c_p] = \displaystyle \frac{J}{kg\cdot K} \\ c_p = \frac{\Delta Q}{m \cdot \Delta T}\)
Die Änderung des Energieinhaltes pro (Masse mal Änderung der Temperatur)

Der Wärmeübergangskoeffizient gibt an, wie gut die Wärme zwischen zwei unterschiedlichen Materialien vonstatten geht.

\([\alpha] = \frac{W}{m^2 \cdot K} = \frac{J/s}{ m^2 \cdot K}\)

Stoffeigenschaft die angibt wie gut etwas Wärme leitet bzw isoliert.
\([\lambda] = \frac{W}{m\cdot K} = \frac{J/s}{m\cdot K}\)

Aus Stoffeigenschaften zusammengesetzte Stoffeigenschaft die in der Wärmeleitungsgleichung zum Einsatz.

\(a = \displaystyle \frac{\lambda}{\varrho \cdot c_p} \\ [a] = \frac{m^2}{s}\)
mit der Wärmeleitfähigkeit, spezifischer Dichte und der spezifischen Wärmekapazität

MINUS!

\(T = T_{trans} + T_{rot}\)

Ein sich nur um seinen Schwerpunkt drehender Körper besitzt nur T_rot.
Ein sich nur verschiebender Körper besitzt nur T_trans.

Für Körper welche sich nicht um ihren Schwerpunkt drehen gibt es beide Anteile.
Mit dem Satz von Steiner lasst sich ein neues Trägheitsmoment bestimmen, sodass T_tras "wegfällt", wobei sich eigentlich der Anteil dann im neuen verschobenen Trägheitsmoment befindet.

Kraft ist propotional zur Geschwindigkeit

\(F_d = D \cdot v\)
mit dämpferkonstanten D.
Der Dämpfer speichert keine Energie

Bei der Parallelschaltung von Dämpfern, werden diese Addiert.

Die Potentielle Energie setzt sich zusammen aus:

\(V = V_m + V_f \\ V_m = m \cdot g \cdot h \\ V_f = \frac{c \cdot (l - l_0)^2}{2}\)

Aus den potentiellen Energien der Massen und den in den Federn gespeicherten Energien.

\(\displaystyle M \ddot{q} +D \dot q + Cq = f_e \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = f_{q,i} + f_{d,i} \\ \displaystyle \vec{f}_q = \left( \frac{\partial \vec{r}_e}{\partial \vec{q}} \right)^T\vec{f}_e\\ L = T-V\)

LTV ist auch deren Reihenfolge im Alphabet
Außerdem sind auch ZUSÄTZLICHE Momente an den Freiheitsgraden dazuzuadieren bei f_q

Bei Haftreibung gilt, dass der Körper haften bleibt, bis die Haftreibungskraft überwunden ist.
sobald der Körper gleitet, muss nurmehr die Gleitreibungskraft aufgebracht werden, welche immer kleiner ist.

\(F_{R,H} \leq \mu_H F_N \\ F_{R,H_{max}} = \mu_H F_N \\ F_{R,G} = \mu_G F_N \)
Solange F_R,H kleiner gleich µF_n ist, haftet der Körper.
µ_G ist kleiner als µ_H

\(\omega = \frac{v}{r}\)

\(F_Z = m\cdot l \cdot \omega^2\)

Von den Einheiten her ist l * omega^2 eine Beschleunigung

\(\mathrm{Parallel:}\\c_{ges} = c_1 + c_2 \\ \; \\ \mathrm{Serie:}\\ \displaystyle \frac{1}{c_{ges}} = \frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} \qquad s_{0,ges} = s_{01} + s_{02}\)

Federn verhalten sich von der Steifigkeit wie Kondensatoren

Eine Punktmasse hat im 3d-Raum 3 Freiheitsgrade. Pro Zwangsbedíngung reduziert sich das um einen.
2 Punktmassen haben 2 * 3 Freiheitsgrade...

Körper haben auch noch Rotationsfreiheitsgrade.

Die Drehmatrix ist jene Matrix, welche dem Basisvektor [r_x r_y r_z] vorangestellt werden muss um auf einen von phi abhängigen allgemeinen Ausdruck von r zu kommen.

Externe Kräfte in x- und y-Richtung aufspalten

Den Ortsvektor zum Kraft-Angriffspunkt aufstellen.

Diesen Ortsvektor nach den Freiheitsgraden ableiten und danach Transponieren.

Die Transponierte Ableitung nun mit dem Kraftvektor multiplizieren.

Der Entstandene Vektor hat genausoviele Zeilen wie es Freiheitsgrade gibt!

\(\left( \frac{\partial \vec{r}_F}{\partial \vec{q}} \right)^T = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial q_1} & \frac{\partial y}{\partial q_1} \\ \frac{\partial x}{\partial q_2} & \frac{\partial y}{\partial q_2} \\ \frac{\partial x}{\partial q_3} & \frac{\partial y}{\partial q_3} \end{bmatrix} \)
Die bereits transponierte Matrix sieht so aus und muss nurmehr mit dem Kraftvektor multipliziert werden...
Hierbei vergisst man oft den Betrag der Kraft wenn vor den Vektor gehoben... 

Hierzu werden dann auch noch Konstante dazuaddiert, wie zB Momente an Freiheitsgraden!