Flussbau

zeitliche Mittelwerd der Geschwindiglkeitskomponente u mit \( \bar{u}\) und die Schwankungsgeschwindigkeit mit u', so ist \(u = \bar{u} + u'\)

Analog für die anderen Geschwindigkeitskomponenten: \(v = \bar{v} + v'\ \ und \ \ w = \bar{w} + w'\); ebenso für den Druck: \(p = \bar{p} + p'\)

Gleichungssystem nicht mehr lösbar, das Schwankungsbewegungen nicht bekannt sind. Erst wenn Zusammenhang Schwankungsgrössen und mittlerer Bewegung angegeben, kann System gelöst werden.

Zusammenhang kann nur empirisch gegeben werden. Wesentlicher Inhalt Turbulenzhypothese oder Turbulenzmodelle. Er weden nicht Turbulenzen beschrieben, sondern deren Auswirkungen auf mittleres Strömungsfeld.

Mischbewegung verursacht Verluste

äussere Gewichtskraft wirkt Schubspannung entgegen

\(\tau=\rho \ g\ (h-y)\ sin(\alpha)\) mit \(sin(\alpha)\approx tan(\alpha)=J\)

An Gerinnesohle bei y=0 =>\(\tau=\rho \ g\ h \ J\)   wird auch als Wandschubspannung bezeichnet: (\(\tau_0\))

Schubspannungsgeschwindigkeit \(U_* = {\sqrt{\tau_0 \over \rho}}=\sqrt{\rho \ g\ h \ J\over \rho}={\sqrt{ \ g\ h \ J}}\)

wichtige Kenngrösse im Zusammenhang mit der Behandlung des Fliesswiderstands und der Fliessgesetze

Zähigkeitskräfte dominieren, keine Schwankungsbewegungen zu beobachten (u'=v'=w')

\(\tau=\tau_l=\rho\ \nu\ {\partial\bar{u} \over{\partial}y}\)

Für grosse Abflusstiefen y<<h und y/2h ~0 ergibt sich vereinfacht \({\bar{u} \over U_*}={U_*y \over \nu}\); bei laminarer Strömung ist die Geschwindigkeitsverteilung von der beschaffenheit der Sohle UNabhängig.

Schubspannungen werden durch ide Geschwindigkeitsschwankungen der tubulenten Mischbewegung verursacht

turbulente zweidimensionele gleichförmige Parallelströmung \(\tau=\tau_t=-\rho\ \overline{u'\nu'}\)

Boussinesqu analog zu Zähigkeitsbeiwert \(\mu=\rho\nu\); Impulsaustauschgrösse \(A_\tau\)

\(\tau_t=-\rho\ \overline{u'\nu'}=A_\tau {\partial\bar u \over \partial y}\)

\(\varepsilon_y={A_\tau\over\rho}\)

\(\tau_t=\rho l^2 \Big|{\partial\bar u \over \partial y}\Big| \Big({\partial\bar u \over \partial y}\Big)\)

gilt für inkompressible Strömungen

Mischungsweglänge l: Abstand in Querrichtung, den ein Flüssigkeitselement mit der mittleren Geschwindigkeit seiner ursprünglichen Schicht zurücklegen muss, bis der Unterschied zwischen seiner Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit am neuen Ort gleich der mittleren Längsschwankung der turbulenten Strömung ist.

Prandtl postuliert lineare Abhängigkeit vom Abstand zur Sohle

\(l=\kappa y\); Kappa wird dabei empirisch bestimmt und in der Regel als Konstante betrachtet (~0.4)

Zusammenhang Wirbelviskosität und dem Mischungsweg 

\(\varepsilon_y=l^2 {\partial\bar u\over{\partial y}}\)

\({\partial \bar u \over \partial y}={U_* \over \kappa y}\); Integriert und für y=0 mit Geschwindigkeit \(\bar u=0\) folgt

\({ \bar u \over U_*}={1 \over \kappa} ln{y \over y_0} =(5.75 \ log({y \over k_s})+8.48)\)

turbulente Strömung über hydraulisch glatter Sohle (unabhängig von Rauigkeit der Wand)

turbulente Strömung pber hydraulisch rauer Sohle (nur von Rauigkeit der Wandn abhängig)

Übergangsbereich (von Reynoldszahl und Wandrauigkeit

äquivalente Sandrauigkeit \(k_s\)

Entspricht dem Durchmesser von Sandkörnern einheitlicher Grösse in dichter Anordnung auf einem planen Untergrund, die den gleichen hydraulischen Widerstand aufweisen, wie die betrachtete Sohle

geometrisches Rauigkeitsmass~äquivalente Sandrauigkeit

laminare Unterschicht so dick, dass Rauigkeitserhebungen der Wandung vollständig von dieser Schicht überdeckt sind.

\(Re_*={U_* k_s \over\nu}\leq 5\)

y₀ muss experimentell bestimmt werden, kann als Proportional zim Verhältnis der kin Zähigkeit und Schubspannungsgeschwindigkeit angesehen werden \(y_0 \sim{\nu \over U_*}\)

Es kann umgeformt und eingesetz werden => \({ \bar u \over U_*}={1 \over \kappa} ln{U_* y \over \nu} +5.5\)

• laminare Unterschicht
• Übergangsbereich (Übergang der laminaren Strömungverteilung zur turbulenten Strömung)
• logarithmische Berich
• im Sohlennahen Bereich auch logarithmisch, muss/kann aber mit wake-Funktion korrigiert werden

Rauigkeitserhebungung über den Übergangsbereich hinaus

\(Re_*={U_* k_s \over\nu}\geq 70\)

\({ \bar u \over U_*} =5.75 \ log({y \over k_s})+8.48={1 \over \kappa} ln{29.8 y\over k_s}\)

Wobei der rechte Teil der Gleichung mehrheitlich angewendet wird.

Der Abstand des Bezugshorizont wird als \(y_0={k_s \over 29.8}\) beschrieben.

Problematik bei der Anwendung: Lage des Bezugshorizont und der Quantifizierung des äquivalenten Sandrauigkeitsmass k_s

\(k_s \approx (1.5-4) \ d_{90}\)

Für gleichmässige Längenprofile und nahezu ebener Sohle wird eher ein Wert von 2d₉₀ angesetzt

Beispiel Alpenrhein als Grenze bis einmündung in den Bodenses zeigt, dassi I Kiesflüssen auch bei relativ kleinen Längsgefällen und geringen Abflusstiefen die turbulenten Strömung über hydraulische raue Sohle dem Normalfall entspricht.

turbulentes Geschwindigkeitsprofil euber Gerinneströmung kann nach diesen Überlegungen als Überlagerung einer Wandfunktion und einer Nachlauffunktion aufgefasst werden

Ansatz auf empirischem Weg gefunden, wird mit wake-Funktion ergänzt.

\({\bar u \over U_*}={1 \over \kappa} ln \Big ({y \over k_s} \Big )+B+\omega \Big( {y \over \delta _G}\Big)\)

wobei die wake-Funktion geschrieben wird als \(\omega \Big( {y \over \delta _G}\Big) = {2\Pi \over \kappa} sin^2 \Big({\pi \over 2}{y \over \delta _G}\Big )\)

Abstand Sohne und Grenzschichtdicke wird berücksichtigt

\({ \bar u \over U_*} =2.5 \ ln({y \over k_s})+8.5+0.2\ sin^2 \Big({\pi \over 2}{y \over h}\Big )\)

Für praktische Anwendungen wird die wake-Funktion daher oft nicht berücksichtigt und folgende Formel wird angewendet.

\({ \bar u \over U_*} =2.5 \ ln({y \over k_s})+8.5= 2.5 \ ln \Big({30y \over k_s}\Big)\)

erst damit ist Abflussberechnung möglich, das heisst eine Pegel-Abflussbeziehung kann vorhergesagt werden.

Geschwindgkeitsverteilung über die durchströnte Fläche liefert den Durchfluss, aus welchem durch Division mit der Querschnittsfläche die mitllere Geschwindigkeit besitmmt werden kann.

\({U_m\over U_*}={1 \over A} \int_{y_0}^{y_{max}} {\bar u (y)\over U_*} dA\)

Für Rohrstroömungen gilt: \({U_m \over U_*}=2.5 \ ln{r \over k_s}+4.75= 2.5 \ ln{13.27 \ r/2 \over k_s}\)

Für Gerinneströmungen: \({U_m \over U_*}=2.5 \ ln{h \over k_s}+6.0= 2.5 \ ln{10.93 \ h \over k_s}\)

\(\tau_{0\ m} =\rho g {A\over P} J=\rho g {r \over 2} J\); wobei P der benetzte Umfang ist und A die durchströmte Querschnittsfläche

Im Falle eines Kreisrohrer entrspircht \(\tau _{0\ m} =\tau _0\) (also der tatsächlichen Wandschubspannung), welche über den benetzten Umfang eine konstante Verteilung aufweist.

Für Freispiegelgerinne ergiebt sich die mittlere Wandschubspannung (bei Normalabfluss) zu \(\tau_{0\ m}P\Delta L =A\ \Delta L\ \rho\ g\ sin \alpha \approx A\rho g J\) (Komponenten parallel zur Sohle => Schubspannung \(\tau_{0\ m} =\rho g {A\over P} J=\rho g R J\)

R=A/P

bei Kreisprofilen= r/2

bei offenen Gerinnen, stellt R einen charakteristischen Profilwert dar.

\({U_m}^2\sim \tau _{0\ m}\)

Beschreibung Zusammenhang mittlere Geschwindigkeit im Profil und mitlere Wandschubspannung mittels eines Widerstandsbeiwert zu verknüpfen

Widerstandsbeiwerte verdiedene Definitionen

Rohrhydraulik (Darcy-Weisbach): \(U_m=\sqrt{8 \over \lambda}\sqrt{gRJ}\)

Gerinnehydraulik (CHÉZY): \(U_m=c \sqrt{gRJ}\)

STRICKLER: \(U_m= k_{st}\ R^{2/3}\ J^{1/2}\); ermitterlt aus Labor- und Naturdaten

Werden sich bei Rückrechnung mit verschiedenen Formeln unterscheiden. Ebenfalls sind sie Wetter und Profil abhängig

höhe Wasser, Geschwindigkeit und Schubspannung proportional, wenn alles gross oder alles klein.

\(\tau _{0 \ m}=\tau_0 \approx \rho\ g \ h\ J\)

Tatsächliche Wandschubspannung entspricht der mittleren Wandschubspannung

\(U_m= \sqrt{\tau_{0\ m}/\rho}=\sqrt{\tau_{0}/\rho} \approx \sqrt{g\ h\ \rho}\)

\(U_m= 2.5 \ ln{a\ R \over k_s} \sqrt{g\ R\ J}\); 

c kann mit dem Verhältnis \({U_m \over U_*}\) berechnet werden

a von Profilform und verhältnis h/b abhängig, Werte tabelliert

Überdeckung: \({R \over k_s}\)

Rauigkeit: \({k_s \over R}\)

Strickler: \(U_m= k_{st}\ R^{2/3}\ J^{1/2}\)

Manning: \(U_m= {1 \over n}\ R^{2/3}\ J^{1/2}\)

Stricklerbeiwert: \(k_{st}= {21.1\over {\sqrt[6]{d_{90}}}}\); dabei ist d₉₀ in meter einzusetzen