Elektrodynamik Mündlich Feiginov 2018

geometrische Objekte im Raum mit innerer Orientierung:

• Punkte - Plus,Minus
• Kurven - Durchlaufsinn
• Flächen - Drehsinn
• Volumina - Schraubsinn

Die innere Orientierung funktioniert ohne Bezug auf den umgebenden Raum.

Der Rand von konsistent orientierte Kurven beginnen im Punkt dem Minus zugeordnet ist und enden in einem Punkt mit Plus.\(\partial C = P_1 + P_2\) Kurve kann auch aus mehreren getrennten Teilen bestehen. Der Rand einer geschlossenen Kurve verschwindet.

Eine orientierte Fläche besitzt als Rand im Allgemeinen mehrere geschlossene Kurven.
Eine konsistente Orientierung liegt vor, wenn der Durchlaufsinn der Kurven mit dem Drehsinn der Fläche zusammenpasst. Geschlossene Flächen sind Randlos.

Die innere Orientierung von Volumen ist dann mit dem Rand (geschlossene Fläche) konsistent, wenn man sich mit dem gewählten Schraubsinn des Volumens von innen an dessen Rand annähert und der Drehsinn der Fläche mit dem Schraubsinn übereinstimmen.

Bei äußerer Orientierung geht man von räumlichen Bereichen aus, die man mit Plus oder Minus versieht. Deren Randflächen haben eine Orientierung von Plus nach Minus (umgekehrt wie bei den + und - der i.O.). Die Randkurven der Flächen haben einen Umschlingungssinn, welcher konsistent orientiert ist, wenn er mit dem Durchtrittssinn der Flächen zusammenpasst. Punkte bekommen jenen Schraubsinn zugeordnet, welcher sich beim Anwenden auf die Randpunkte nach innen gerichtet ergibt.

Einerseits sind nicht alle Bereiche eindeutig orientierbar, wie das Möbiusband.
Andererseits lassen sich innere in äußere Orientierung umrechnen. Wir verwenden standardmäßig für räumliche Bereiche die Rechtsschraube.

Kommutativität des Skalarproduktes
Antikommutativität des Vektorproduktes

Wir verwenden nur Basisvektoren die ein orthonormiertes System bilden (kein Basisvektor aus den anderen Darstellbar)
\(\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \begin{cases} 0 & \text{wenn }i\neq j \\ 1 & \text{wenn } i = j \end{cases}\)

Kronecker Delta.

Außerdem gilt beim Spatprodukt der Basisvektoren in der ursprünglichen Reihenfolge bzw mit einer geraden Anzahl an Vertauschungen =1. Bei ungerade -1 und wenn einer doppelt vorkommt =0.
Permutations-Epsilon.

Tensorprodukt ist nicht-kommutativ.
9 Koeffizienten eines Tensors 2ter Stufe.
Verjüngen von Vektoren durch Skalarprodukt von links oder rechts.
Links _ * # = |
Rechts # * | = |

Einstensor mit unterwelltem Kroneckerdelta. 

Vektoren und Tensoren umrechenbar von einem in ein anderes Koordinatensystem.
Ortsvektor bezüglich dem Ursprung unterschiedlich in den unterschiedlichen Systemen.

Orthogonale Koordinatensysteme stehen senkrecht aufeinander.
Tangentenvektoren der Koordinatenlinien durch fixieren von 2 Koordinaten und variieren der dritten.

Ein Feld heißt im Punkt P(r) differenzierbar wenn gilt:
\(\tilde{F}(\vec{r} +\vec{a}) = \tilde{F} + \vec{a}\cdot \tilde{G}(\vec{r}) + \tilde{o}(\vec{a}) \\ \text{mit }\vec{a}\rightarrow \vec{0}\qquad \tilde{G} = \vec{\nabla} \otimes \tilde{F}\)
G ist das Gradientenfeld von F

Nabla unterschiedlich in den unterschiedlichen Koordinatensystemen.
Zusätzlich muss Produktregel und Kettenregel beachtet werden. Und sein Wirkungsbereich klar definiert.

Divergenz Rotation und Gradient
In speziellen Koordinatensystemen können Basisvektoren ortsabhängig sein. Differentiation nach Alpha/Theta bei KZ und KK.

Bei Skalarfeld:
Gradient - > Vektor mit Richtung des lokal stärksten anstiegs.
Bei Vektorfeld:
Divergenz -> Quellendichte
Rotation -> Wirbeldichte (mit kleinen Rauen Kugeln vorstellbar) 

Identitäten

Green Transformation -> Satz von Gauß
Kelvin Transformation -> Satz von Stokes
mit Sprüngen