Edyn good to know

\(\frac{L'}{R'} = \frac{C'}{G'}\)

\(\gamma = \sqrt{\underline{Y}'\underline{Z}'} =\\ \qquad = \sqrt{(R'+j\omega L')(G' + j\omega C')} \)

normal und der verlustfreie Fall

\(\displaystyle Z_w = \sqrt{\frac{Z'}{Y'}} \qquad Z_w = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{c\,C'}\)

\(\displaystyle Z_w = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{c\,C'} \\ \displaystyle C'_{DL} = \frac{\pi \varepsilon_0}{\ln(2D/d)} \\ \displaystyle C'_{KL} = \frac{2 \pi \varepsilon_0}{\ln(D/d)}\\ \displaystyle C'_{RL} = \varepsilon_0\frac{ b}{a}\)

PotentialFLÄCHEN m zählen
Flussröhren n zählen

\(U = m\cdot \nabla \varphi \qquad \Psi' = \varepsilon_0n \cdot \nabla \varphi \\ ~\\ Q=CU \; \rightarrow \Psi = CU \\ \qquad \Psi' = C'U\)

\(\varepsilon_0 \mu_0 = C'L' = 1/c^2 \\ Z_w = \displaystyle \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{c\;C'}\)

Wenn keine Seite der Sprungfläche Leitfähigkeit besitzt, gilt dass die Tangentialkomponente nicht springen kann.

Ansonsten gilt, \(\vec{n} \times [\![\vec{H}]\!] = \vec{K}\)

Auf ideal permeable Flächen steht die magn. Feldstärke stets senkrecht!

Die Normalkomponente der magn. Flussdichte kann aufgrund des Satzes vom magn Hüllenfluss nicht springen.

Die tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke springt nicht.

Auf ideal Leitfähige Körper steht sie senkrecht.

Der Sprung der Normalkomponente der el. Flussdichte ergibt die Flächenladung.

Die Phasengeschwindigkei nähert sich bei zunehmender Frequenz der Lichtgeschwindigkeit von oben und die Gruppengeschwindigkeit von unten. Unter der charakteristischen Frequenz f_p werden die Terme imaginär.

\(c_{ph} = \frac{\omega}{k} \qquad c_{gr} = \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} \\~\\ \displaystyle c_{ph} = \frac{c_0}{\sqrt{1-(f_p/f)^2}} \\~\\ \qquad c_{gr} = c_0 \sqrt{1-(f_p/f)^2}\)

\((1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x\)

Über die Poissongleichung!

\(\nabla^2\varphi = -\frac{\varrho}{\varepsilon}\)

\(\displaystyle \vec{p} = \int_{\partial V} \sigma\cdot \vec{r} \;\mathrm{d}A\)

Kreiszylinder
\(\partial_\alpha(\vec{e}_\varrho, \; \vec{e}_\alpha , \; \vec{e}_z ) = (\vec{e}_\alpha, \; - \vec{e}_\varrho , \; 0 ) \\ ~\\ \partial_\theta (\vec{e}_r, \; \vec{e}_\theta , \; \vec{e}_\alpha ) = (\vec{e}_\theta, \; -\vec{e}_r , \; 0 ) \\ \partial_\alpha (\vec{e}_r, \; \vec{e}_\theta, \; \vec{e}_\alpha ) = [\sin(\theta)\vec{e}_\alpha, \; \cos(\theta)\vec{e}_\alpha , \; \\\qquad \qquad \qquad \qquad -\sin(\theta) \vec{e}_r - \cos(\theta)\vec{e}_\theta ] \)

\(\Psi(A) = \displaystyle \int_{\partial A} \vec{s} \cdot \vec{V} \; \mathrm{d}s = l[V_2 - V_1]\)

Laplace Gleichung integrieren

\(\nabla^2 w = \frac{1}{c^2}\partial_t^2w \\ (\nabla^2-\frac{1}{c^2}\partial_t^2) w(\vec{r},t) = -f(\vec{r},t)\)

\(\vec{\nabla} \times \vec{A} = -jk \vec{\kappa}\times \vec{A}\)

Ansatz: 
\(\varphi_m(r,\theta) = \left(A_1 r\; + A_2r^{-2} \right)\cos(\theta)\\ ~\\ [\![B_n]\!] =[\![\mu_0\mu_r(M_n + H_n)]\!] = 0 \\ \Rightarrow \qquad [\![M_n]\!] = -[\![H_n]\!] \\ [\![H_t]\!] = 0\)

Letzteres gilt im stromfreien Fall. Damit für innen und außen Gleichungen aufstellen und lösen.

\(\vec{\nabla} \cdot\vec{B} = 0 \Rightarrow \vec{\nabla} \cdot \mu_0( -\vec{\nabla} \varphi + \vec{M} )= 0 \\ \qquad \Rightarrow \nabla ^2 \varphi = \vec{\nabla} \cdot \vec{M} \\ ~\\ [\![B_n]\!] =[\![\mu_0\mu_r(M_n + H_n)]\!] = 0 \\ \Rightarrow \qquad [\![M_n]\!] = -[\![H_n]\!] \\ [\![H_t]\!] = 0\)

Wenn in den Rändern keine elektr. Feldstärke eindringen kann, gibt es einen Flächenstrom, der den Sprung der magn. tangential Feldstärke gleicht.

Ampere-Maxwell-Satz und der Satz des elektr. Hüllenflusses

Globale Gleichungen:
\(\displaystyle V(\partial \mathcal{A}) = I(\mathcal{A}) + \dot{\Psi}(\mathcal{A}) \\ \Psi(\partial \mathcal{V}) = Q(\mathcal{V})\)

Ladungserhaltungssatz

Globale, Integral, Kontinuitätsgleichung und Sprungbedingung
\(I(\partial\mathcal{V}) = - \dot{Q}(\mathcal{V}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{J} dA =- \partial_t \int_{\mathcal{V}} \rho dV \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = - \partial_t \rho \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{J}]\!] = - \partial_t \sigma\)

Gehört zum elektomagn. Feld im engeren Sinne bzw zum Faraday-Komplex

Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(U(\partial\mathcal{A}) = - \dot{\Phi}(\mathcal{A}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{A}} \vec{s} \cdot \vec{E} \ ds =- \partial_t \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{B} \ dA \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial_t \vec{B} \\ \vec{n} \times [\![\vec{E}]\!] = \vec{0}\)

Gehört zum elektomagn. Feld im engeren Sinne bzw zum Faraday-Komplex

Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung

\(\Phi(\partial\mathcal{V}) = 0 \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{B} \ dA =0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{B}]\!] = 0\)

Gehört zum Strom-Ladungs-Feld bzw zum Maxwell-Komplex

Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(V(\partial\mathcal{A}) = I(\mathcal{A}) + \dot{\Psi}(\mathcal{A}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{A}} \vec{s} \cdot \vec{H} \ ds = \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{J} \ dA + \partial_t \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{D} \ dA \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \partial_t \vec{D} \\ \vec{n} \times [\![\vec{H}]\!] = \vec{K}\)

Gehört zum Strom-Ladungs-Feld bzw zum Maxwell-Komplex

Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(\Psi(\partial\mathcal{V}) = Q(\mathcal{V}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{D} \ dA = \int_{\mathcal{V}} \rho \ dV \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{D}]\!] = \sigma\)

\(\displaystyle \vec{r}_{r,\theta,\alpha} = \begin{pmatrix} r \\ \theta \\ \alpha \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r}_{x,y,z} = r \cdot \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \sin(\theta) \\ \sin(\alpha) \sin (\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}\)

\(\displaystyle \vec{r}_{\varrho,\alpha,z} = \begin{pmatrix} \varrho\\ \alpha \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r}_{x,y,z} =\begin{pmatrix} \varrho\cdot \cos(\alpha) \\ \varrho\cdot \sin(\alpha) \\ z \end{pmatrix}\)

Die Rotation eines Gradienten verschwindet.

Die Divergenz einer Rotation verschwindet.

\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{\nabla}f = \vec{0} \\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{f} ) = 0 \\\text{rot} \ \text{grad}(f) = \vec{0} \\ \text{div} \ \text{rot}(\vec{f}) = 0\)

Einzeln nach den jeweiligen Richtungen integrieren
\(\vec{f} = \vec{\nabla} \rho \\ \rho(x_2,y_2) - \rho(x_1, y_1) = \int \vec{f} d\vec{r}\)

\(\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1-\cos(2\alpha)) \\ \cos^2(\alpha) =\frac{1}{2}(1+\cos(2\alpha)) \\ \sin^2(\alpha) +\cos^2(\alpha) =1 \\ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha) \\ \sin^4(\alpha) -\cos^4(\alpha) = -\cos(2\alpha)\\ \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \\ \sin(\alpha)= \frac{e^{+ja}-e^{-ja}}{j2} = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) \\ \cos(\alpha) = \frac{e^{-ja}+e^{+ja}}{2}= \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) \)

\(\text{Satz vom elektr. Hüllenfluss: }\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho^w \\ \text{Fiktive Raumladungsdichte: }-\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \rho^f \\ \text{Materialbeziehung: }\vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E} = \varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P} \)

Mit der Materialbeziehung D mit P ausdrücken und in den Satz v. elektr. Hüllenfluss einsetzen.
Dann die Definition von der fiktiven Raumladungsdichte einsetzen.

Wie unten mit der Stromdichte dargestellt verhält es sich mit allen der unten aufgeführten Größen.
Die effektive Größe setzt sich aus der "wahren" und der "fiktiven" zusammen.
Die fiktiven sind die gemittelten magnetischen/elektrischen Ladungsverschiebungen höhrerer Ordnung.
\(\vec{J} ^{e} = \vec{J} + \vec{J}^{f} \\ \vec{J}^{f} = \partial_t \vec{P} + \vec{\nabla} \times \vec{M} \\ \vec{K}^{f} = \vec{n} \times [ \![ \vec{M} ] \!]\\ \vec{\rho}^{f} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \\ \vec{\sigma}^{f} = - \vec{n} \cdot [ \![ \vec{P} ] \!]\)

\(\displaystyle A = \frac{|r_1 \times r_2|}{2} \\ |r_1 \times r_2| = |r_1| |r_2| \sin(\alpha) \\ |r_1 \cdot r_2| = |r_1| |r_2| \cos(\alpha)\)

\(\displaystyle -\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \varrho^f \qquad -\vec{n} \cdot [\![\vec{P}]\!] = \sigma^f \\~\\\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \varrho \qquad \vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec{E}\\ \vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}\)

\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} \\ \vec{\nabla} \times \vec{M} (+\partial_tP) = \vec{J}^f \\ \vec{B} = \mu_0\mu_r \vec{H} = \mu_0(\vec{H}+\vec{M})\)

Wenn Verschiebungsstrom vernachlässigt gilt

\(\frac{1}{\mu_0} \vec{\nabla} \times \vec{B} = J + J^f \\ \frac{1}{\mu_0 \mu_r} \vec{\nabla} \times \vec{B} = J\)

\(\vec{E}' = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \qquad \vec{B}' = \vec{B} \\\vec{H}' = \vec{H} - \vec{v} \times \vec{D} \qquad \vec{D}' = \vec{D} \\\vec{M}' = \vec{M} + \vec{v} \times \vec{P} \qquad \vec{P}' = \vec{P} \\ \vec{J}' = \vec{J} - \vec{v} \rho\qquad\qquad \vec{\rho}' = \vec{\rho} \\\vec{K}' = \vec{K} - \vec{v} \sigma\qquad\qquad \vec{\sigma}' = \vec{\sigma}\)

\(\displaystyle \int_{\partial A} \vec{s} \cdot \vec{f} ds = \\ \displaystyle = \int_{ A'} \vec{n}\cdot (\vec{\nabla} \times \vec{f} ) dA + \int_{C} \vec{s} \cdot [\![ \vec{f}]\!] ds \)

\(\displaystyle \int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{f} dA = \\ \displaystyle = \int_{ V'} \vec{\nabla} \cdot\vec{f} dV + \int_{S} \vec{n} \cdot [\![ \vec{f}]\!] dA \)