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Wichtige Zusammenhänge für Theorie und Anwendung
Wichtige Zusammenhänge für Theorie und Anwendung
Verrzerrungsfreie Leitung
\(\frac{L'}{R'} = \frac{C'}{G'}\)
Komplexer Ausbreitungskoeffizient Gamma
\(\gamma = \sqrt{\underline{Y}'\underline{Z}'} =\\ \qquad = \sqrt{(R'+j\omega L')(G' + j\omega C')} \)
Wellenwiderstand berechnen
normal und der verlustfreie Fall
\(\displaystyle Z_w = \sqrt{\frac{Z'}{Y'}} \qquad Z_w = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{c\,C'}\)
Längenbezogene Kapazität von verlustloser
Doppelleitung, runder Koaxleiter, Rechteckleiter
\(\displaystyle Z_w = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{c\,C'} \\ \displaystyle C'_{DL} = \frac{\pi \varepsilon_0}{\ln(2D/d)} \\ \displaystyle C'_{KL} = \frac{2 \pi \varepsilon_0}{\ln(D/d)}\\ \displaystyle C'_{RL} = \varepsilon_0\frac{ b}{a}\)
Vorgehensweise für Potentialflächenbsp
PotentialFLÄCHEN m zählen
Flussröhren n zählen
\(U = m\cdot \nabla \varphi \qquad \Psi' = \varepsilon_0n \cdot \nabla \varphi \\ ~\\ Q=CU \; \rightarrow \Psi = CU \\ \qquad \Psi' = C'U\)
Keyword: ideal Metallische Randbedingungen
\(\varepsilon_0 \mu_0 = C'L' = 1/c^2 \\ Z_w = \displaystyle \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{c\;C'}\)
Sprung der magnetischen Feldstärke
Wenn keine Seite der Sprungfläche Leitfähigkeit besitzt, gilt dass die Tangentialkomponente nicht springen kann.
Ansonsten gilt, \(\vec{n} \times [\![\vec{H}]\!] = \vec{K}\)
Auf ideal permeable Flächen steht die magn. Feldstärke stets senkrecht!
Die Normalkomponente der magn. Flussdichte kann aufgrund des Satzes vom magn Hüllenfluss nicht springen.
Sprung der elektrischen Feldstärke
Die tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke springt nicht.
Auf ideal Leitfähige Körper steht sie senkrecht.
Der Sprung der Normalkomponente der el. Flussdichte ergibt die Flächenladung.
Phase und Gruppengeschwindigkeit Zusammenhänge
Die Phasengeschwindigkei nähert sich bei zunehmender Frequenz der Lichtgeschwindigkeit von oben und die Gruppengeschwindigkeit von unten. Unter der charakteristischen Frequenz f_p werden die Terme imaginär.
\(c_{ph} = \frac{\omega}{k} \qquad c_{gr} = \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} \\~\\ \displaystyle c_{ph} = \frac{c_0}{\sqrt{1-(f_p/f)^2}} \\~\\ \qquad c_{gr} = c_0 \sqrt{1-(f_p/f)^2}\)
\((1 + x)^\alpha \approx \; \\ \text{mit } |x| \ll 1\)
\((1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x\)
Berechnung von Ladungsverteilungen
Über die Poissongleichung!
\(\nabla^2\varphi = -\frac{\varrho}{\varepsilon}\)
elektrische Moment eines Körpers berechnen
\(\displaystyle \vec{p} = \int_{\partial V} \sigma\cdot \vec{r} \;\mathrm{d}A\)
Richtungsveränderungen beim Differenzieren bzw Integrieren
Kreiszylinder
\(\partial_\alpha(\vec{e}_\varrho, \; \vec{e}_\alpha , \; \vec{e}_z ) = (\vec{e}_\alpha, \; - \vec{e}_\varrho , \; 0 ) \\ ~\\ \partial_\theta (\vec{e}_r, \; \vec{e}_\theta , \; \vec{e}_\alpha ) = (\vec{e}_\theta, \; -\vec{e}_r , \; 0 ) \\ \partial_\alpha (\vec{e}_r, \; \vec{e}_\theta, \; \vec{e}_\alpha ) = [\sin(\theta)\vec{e}_\alpha, \; \cos(\theta)\vec{e}_\alpha , \; \\\qquad \qquad \qquad \qquad -\sin(\theta) \vec{e}_r - \cos(\theta)\vec{e}_\theta ] \)
Elektrischer Fluss aus Vektorpotential berechnen
\(\Psi(A) = \displaystyle \int_{\partial A} \vec{s} \cdot \vec{V} \; \mathrm{d}s = l[V_2 - V_1]\)
Ansatz von Funktion bekommen die von bestimmter Koordinate abhängt
Laplace Gleichung integrieren
homogene und inhomogene Wellengleichung
\(\nabla^2 w = \frac{1}{c^2}\partial_t^2w \\ (\nabla^2-\frac{1}{c^2}\partial_t^2) w(\vec{r},t) = -f(\vec{r},t)\)
Rotation von Vektorpotential der Form
\(\vec{A}(\vec{r},t) = \vec{A}_0e^{-j(\omega t -k\vec{\kappa} \cdot \vec{r})}\)
\(\vec{\nabla} \times \vec{A} = -jk \vec{\kappa}\times \vec{A}\)
Rechenweg für bestimmung von magn. Feldstärke mit Skalarpotential in Kugelkoordinaten
Ansatz:
\(\varphi_m(r,\theta) = \left(A_1 r\; + A_2r^{-2} \right)\cos(\theta)\\ ~\\ [\![B_n]\!] =[\![\mu_0\mu_r(M_n + H_n)]\!] = 0 \\ \Rightarrow \qquad [\![M_n]\!] = -[\![H_n]\!] \\ [\![H_t]\!] = 0\)
Letzteres gilt im stromfreien Fall. Damit für innen und außen Gleichungen aufstellen und lösen.
Berechnung des Feldes eines eingehüllten Dauermagneten
\(\vec{\nabla} \cdot\vec{B} = 0 \Rightarrow \vec{\nabla} \cdot \mu_0( -\vec{\nabla} \varphi + \vec{M} )= 0 \\ \qquad \Rightarrow \nabla ^2 \varphi = \vec{\nabla} \cdot \vec{M} \\ ~\\ [\![B_n]\!] =[\![\mu_0\mu_r(M_n + H_n)]\!] = 0 \\ \Rightarrow \qquad [\![M_n]\!] = -[\![H_n]\!] \\ [\![H_t]\!] = 0\)
Zusammenhänge von elektr. Feld im Spalt
Wenn in den Rändern keine elektr. Feldstärke eindringen kann, gibt es einen Flächenstrom, der den Sprung der magn. tangential Feldstärke gleicht.
Das elektromagnetische Feld im engeren Sinne (Faraday Komplex)
Der Faraday-Komplex beeinhaltet:
- den Satz der elektr. Umlaufspannung (Induktionsgesetz)
- und den Satz des magn. Hüllenflusses.
globale Gleichungen:
\(\displaystyle U(\partial \mathcal{A}) = - \dot{\Phi}(\mathcal{A}) \\ \Phi(\partial \mathcal{V}) = 0\)
Das Strom-Ladungsfeld im engeren Sinne mit globalen Gleichungen
Ampere-Maxwell-Satz und der Satz des elektr. Hüllenflusses
Globale Gleichungen:
\(\displaystyle V(\partial \mathcal{A}) = I(\mathcal{A}) + \dot{\Psi}(\mathcal{A}) \\ \Psi(\partial \mathcal{V}) = Q(\mathcal{V})\)
Die fundamentale Eigenschaft in globaler integraler und Maxwell- Darstellung
Ladungserhaltungssatz
Globale, Integral, Kontinuitätsgleichung und Sprungbedingung
\(I(\partial\mathcal{V}) = - \dot{Q}(\mathcal{V}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{J} dA =- \partial_t \int_{\mathcal{V}} \rho dV \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = - \partial_t \rho \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{J}]\!] = - \partial_t \sigma\)
Satz der elektr. Umlaufspannung (Induktionsgesetz)
Gehört zum elektomagn. Feld im engeren Sinne bzw zum Faraday-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(U(\partial\mathcal{A}) = - \dot{\Phi}(\mathcal{A}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{A}} \vec{s} \cdot \vec{E} \ ds =- \partial_t \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{B} \ dA \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial_t \vec{B} \\ \vec{n} \times [\![\vec{E}]\!] = \vec{0}\)
Satz des magn. Hüllenflusses
Gehört zum elektomagn. Feld im engeren Sinne bzw zum Faraday-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(\Phi(\partial\mathcal{V}) = 0 \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{B} \ dA =0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{B}]\!] = 0\)
Ampére-Maxwell-Satz
Gehört zum Strom-Ladungs-Feld bzw zum Maxwell-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(V(\partial\mathcal{A}) = I(\mathcal{A}) + \dot{\Psi}(\mathcal{A}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{A}} \vec{s} \cdot \vec{H} \ ds = \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{J} \ dA + \partial_t \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{D} \ dA \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \partial_t \vec{D} \\ \vec{n} \times [\![\vec{H}]\!] = \vec{K}\)
Satz des elektr. Hüllenflusses
Gehört zum Strom-Ladungs-Feld bzw zum Maxwell-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(\Psi(\partial\mathcal{V}) = Q(\mathcal{V}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{D} \ dA = \int_{\mathcal{V}} \rho \ dV \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{D}]\!] = \sigma\)
Basisvektor Koordinatentransformation
Kugelkoordinaten nach kartesische Koordinaten
\(\displaystyle \vec{r}_{r,\theta,\alpha} = \begin{pmatrix} r \\ \theta \\ \alpha \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r}_{x,y,z} = r \cdot \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \sin(\theta) \\ \sin(\alpha) \sin (\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}\)
Basisvektor Koordinatentransformation
Zylinderkoordinaten nach kartesisch
\(\displaystyle \vec{r}_{\varrho,\alpha,z} = \begin{pmatrix} \varrho\\ \alpha \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r}_{x,y,z} =\begin{pmatrix} \varrho\cdot \cos(\alpha) \\ \varrho\cdot \sin(\alpha) \\ z \end{pmatrix}\)
Verschwindende Zusammenhänge von rot grad div
Die Rotation eines Gradienten verschwindet.
Die Divergenz einer Rotation verschwindet.
\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{\nabla}f = \vec{0} \\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{f} ) = 0 \\\text{rot} \ \text{grad}(f) = \vec{0} \\ \text{div} \ \text{rot}(\vec{f}) = 0\)
Integrale über Kurven berechnen
Einzeln nach den jeweiligen Richtungen integrieren
\(\vec{f} = \vec{\nabla} \rho \\ \rho(x_2,y_2) - \rho(x_1, y_1) = \int \vec{f} d\vec{r}\)
Trigonometrische Zusammenhänge
\(\sin^2(\alpha) = \\ \cos^2(\alpha) = \\ \sin^2(\alpha) +\cos^2(\alpha) = \\ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = \\ \sin^4(\alpha) -\cos^4(\alpha) = \\ \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \\ \sin(\alpha) = \\ \cos(\alpha) =\)
\(\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1-\cos(2\alpha)) \\ \cos^2(\alpha) =\frac{1}{2}(1+\cos(2\alpha)) \\ \sin^2(\alpha) +\cos^2(\alpha) =1 \\ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha) \\ \sin^4(\alpha) -\cos^4(\alpha) = -\cos(2\alpha)\\ \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \\ \sin(\alpha)= \frac{e^{+ja}-e^{-ja}}{j2} = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) \\ \cos(\alpha) = \frac{e^{-ja}+e^{+ja}}{2}= \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) \)
In einem linearen, homogenen isotropen Dielektrikum mit der Permitivität Epsilon existieren wahre & fiktive Ladungen
Leiten Sie eine Bezeihung zwischen "wahren" und der fiktiven Raumladungsdichte her.
\(\text{Satz vom elektr. Hüllenfluss: }\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho^w \\ \text{Fiktive Raumladungsdichte: }-\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \rho^f \\ \text{Materialbeziehung: }\vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E} = \varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P} \)
Mit der Materialbeziehung D mit P ausdrücken und in den Satz v. elektr. Hüllenfluss einsetzen.
Dann die Definition von der fiktiven Raumladungsdichte einsetzen.
Effektive, wahre und fiktive Ströme und Ladungen
Wie unten mit der Stromdichte dargestellt verhält es sich mit allen der unten aufgeführten Größen.
Die effektive Größe setzt sich aus der "wahren" und der "fiktiven" zusammen.
Die fiktiven sind die gemittelten magnetischen/elektrischen Ladungsverschiebungen höhrerer Ordnung.
\(\vec{J} ^{e} = \vec{J} + \vec{J}^{f} \\ \vec{J}^{f} = \partial_t \vec{P} + \vec{\nabla} \times \vec{M} \\ \vec{K}^{f} = \vec{n} \times [ \![ \vec{M} ] \!]\\ \vec{\rho}^{f} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \\ \vec{\sigma}^{f} = - \vec{n} \cdot [ \![ \vec{P} ] \!]\)
Ortsvektoren
Flächeninhalt zwischen 2 Vektoren
Betrag des Skalar-, Vektorproduktes
\(\displaystyle A = \frac{|r_1 \times r_2|}{2} \\ |r_1 \times r_2| = |r_1| |r_2| \sin(\alpha) \\ |r_1 \cdot r_2| = |r_1| |r_2| \cos(\alpha)\)
Fiktive Raum-, Flächenladungen
\(\displaystyle -\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \varrho^f \qquad -\vec{n} \cdot [\![\vec{P}]\!] = \sigma^f \\~\\\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \varrho \qquad \vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec{E}\\ \vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}\)
Fiktive Ströme und Zusammenhänge der magnetischen Flussdichte
\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} \\ \vec{\nabla} \times \vec{M} (+\partial_tP) = \vec{J}^f \\ \vec{B} = \mu_0\mu_r \vec{H} = \mu_0(\vec{H}+\vec{M})\)
Wenn Verschiebungsstrom vernachlässigt gilt
\(\frac{1}{\mu_0} \vec{\nabla} \times \vec{B} = J + J^f \\ \frac{1}{\mu_0 \mu_r} \vec{\nabla} \times \vec{B} = J\)
Feldergänzungen für bewegte Körper
Die gestrichenen Größen sind die, welche die in Bewegung befindlichen Körper erfahren.
Die ungestrichenen Größen gelten im Ruhesystem
\(\vec{E}' = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \qquad \vec{B}' = \vec{B} \\\vec{H}' = \vec{H} - \vec{v} \times \vec{D} \qquad \vec{D}' = \vec{D} \\\vec{M}' = \vec{M} + \vec{v} \times \vec{P} \qquad \vec{P}' = \vec{P} \\ \vec{J}' = \vec{J} - \vec{v} \rho\qquad\qquad \vec{\rho}' = \vec{\rho} \\\vec{K}' = \vec{K} - \vec{v} \sigma\qquad\qquad \vec{\sigma}' = \vec{\sigma}\)
Satz von Stokes (erweitert)
\(\displaystyle \int_{\partial A} \vec{s} \cdot \vec{f} ds = \\ \displaystyle = \int_{ A'} \vec{n}\cdot (\vec{\nabla} \times \vec{f} ) dA + \int_{C} \vec{s} \cdot [\![ \vec{f}]\!] ds \)
Satz von Gauß (erweitert)
\(\displaystyle \int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{f} dA = \\ \displaystyle = \int_{ V'} \vec{\nabla} \cdot\vec{f} dV + \int_{S} \vec{n} \cdot [\![ \vec{f}]\!] dA \)
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Lernkarten
Das elektromagnetische Feld im engeren Sinne (Faraday Komplex)
Der Faraday-Komplex beeinhaltet:
- den Satz der elektr. Umlaufspannung (Induktionsgesetz)
- und den Satz des magn. Hüllenflusses.
globale Gleichungen:
\(\displaystyle U(\partial \mathcal{A}) = - \dot{\Phi}(\mathcal{A}) \\ \Phi(\partial \mathcal{V}) = 0\)
Das Strom-Ladungsfeld im engeren Sinne mit globalen Gleichungen
Ampere-Maxwell-Satz und der Satz des elektr. Hüllenflusses
Globale Gleichungen:
\(\displaystyle V(\partial \mathcal{A}) = I(\mathcal{A}) + \dot{\Psi}(\mathcal{A}) \\ \Psi(\partial \mathcal{V}) = Q(\mathcal{V})\)
Die fundamentale Eigenschaft in globaler integraler und Maxwell- Darstellung
Ladungserhaltungssatz
Globale, Integral, Kontinuitätsgleichung und Sprungbedingung
\(I(\partial\mathcal{V}) = - \dot{Q}(\mathcal{V}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{J} dA =- \partial_t \int_{\mathcal{V}} \rho dV \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = - \partial_t \rho \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{J}]\!] = - \partial_t \sigma\)
Satz der elektr. Umlaufspannung (Induktionsgesetz)
Gehört zum elektomagn. Feld im engeren Sinne bzw zum Faraday-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(U(\partial\mathcal{A}) = - \dot{\Phi}(\mathcal{A}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{A}} \vec{s} \cdot \vec{E} \ ds =- \partial_t \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{B} \ dA \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial_t \vec{B} \\ \vec{n} \times [\![\vec{E}]\!] = \vec{0}\)
Satz des magn. Hüllenflusses
Gehört zum elektomagn. Feld im engeren Sinne bzw zum Faraday-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(\Phi(\partial\mathcal{V}) = 0 \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{B} \ dA =0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{B}]\!] = 0\)
Ampére-Maxwell-Satz
Gehört zum Strom-Ladungs-Feld bzw zum Maxwell-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(V(\partial\mathcal{A}) = I(\mathcal{A}) + \dot{\Psi}(\mathcal{A}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{A}} \vec{s} \cdot \vec{H} \ ds = \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{J} \ dA + \partial_t \int_{\mathcal{A}} \vec{n} \cdot \vec{D} \ dA \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \partial_t \vec{D} \\ \vec{n} \times [\![\vec{H}]\!] = \vec{K}\)
Satz des elektr. Hüllenflusses
Gehört zum Strom-Ladungs-Feld bzw zum Maxwell-Komplex
Globale, Integral, Maxwell Darstellung mit Sprungbedingung
\(\Psi(\partial\mathcal{V}) = Q(\mathcal{V}) \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{V}} \vec{n} \cdot \vec{D} \ dA = \int_{\mathcal{V}} \rho \ dV \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho \\ \vec{n} \cdot [\![\vec{D}]\!] = \sigma\)
Basisvektor Koordinatentransformation
Kugelkoordinaten nach kartesische Koordinaten
\(\displaystyle \vec{r}_{r,\theta,\alpha} = \begin{pmatrix} r \\ \theta \\ \alpha \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r}_{x,y,z} = r \cdot \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \sin(\theta) \\ \sin(\alpha) \sin (\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}\)
Basisvektor Koordinatentransformation
Zylinderkoordinaten nach kartesisch
\(\displaystyle \vec{r}_{\varrho,\alpha,z} = \begin{pmatrix} \varrho\\ \alpha \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{r}_{x,y,z} =\begin{pmatrix} \varrho\cdot \cos(\alpha) \\ \varrho\cdot \sin(\alpha) \\ z \end{pmatrix}\)
Verschwindende Zusammenhänge von rot grad div
Die Rotation eines Gradienten verschwindet.
Die Divergenz einer Rotation verschwindet.
\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{\nabla}f = \vec{0} \\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{f} ) = 0 \\\text{rot} \ \text{grad}(f) = \vec{0} \\ \text{div} \ \text{rot}(\vec{f}) = 0\)
Integrale über Kurven berechnen
Einzeln nach den jeweiligen Richtungen integrieren
\(\vec{f} = \vec{\nabla} \rho \\ \rho(x_2,y_2) - \rho(x_1, y_1) = \int \vec{f} d\vec{r}\)
Trigonometrische Zusammenhänge
\(\sin^2(\alpha) = \\ \cos^2(\alpha) = \\ \sin^2(\alpha) +\cos^2(\alpha) = \\ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = \\ \sin^4(\alpha) -\cos^4(\alpha) = \\ \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \\ \sin(\alpha) = \\ \cos(\alpha) =\)
\(\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1-\cos(2\alpha)) \\ \cos^2(\alpha) =\frac{1}{2}(1+\cos(2\alpha)) \\ \sin^2(\alpha) +\cos^2(\alpha) =1 \\ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha) \\ \sin^4(\alpha) -\cos^4(\alpha) = -\cos(2\alpha)\\ \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \\ \sin(\alpha)= \frac{e^{+ja}-e^{-ja}}{j2} = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) \\ \cos(\alpha) = \frac{e^{-ja}+e^{+ja}}{2}= \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) \)
In einem linearen, homogenen isotropen Dielektrikum mit der Permitivität Epsilon existieren wahre & fiktive Ladungen
Leiten Sie eine Bezeihung zwischen "wahren" und der fiktiven Raumladungsdichte her.
\(\text{Satz vom elektr. Hüllenfluss: }\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho^w \\ \text{Fiktive Raumladungsdichte: }-\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \rho^f \\ \text{Materialbeziehung: }\vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E} = \varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P} \)
Mit der Materialbeziehung D mit P ausdrücken und in den Satz v. elektr. Hüllenfluss einsetzen.
Dann die Definition von der fiktiven Raumladungsdichte einsetzen.
Effektive, wahre und fiktive Ströme und Ladungen
Wie unten mit der Stromdichte dargestellt verhält es sich mit allen der unten aufgeführten Größen.
Die effektive Größe setzt sich aus der "wahren" und der "fiktiven" zusammen.
Die fiktiven sind die gemittelten magnetischen/elektrischen Ladungsverschiebungen höhrerer Ordnung.
\(\vec{J} ^{e} = \vec{J} + \vec{J}^{f} \\ \vec{J}^{f} = \partial_t \vec{P} + \vec{\nabla} \times \vec{M} \\ \vec{K}^{f} = \vec{n} \times [ \![ \vec{M} ] \!]\\ \vec{\rho}^{f} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \\ \vec{\sigma}^{f} = - \vec{n} \cdot [ \![ \vec{P} ] \!]\)
Ortsvektoren
Flächeninhalt zwischen 2 Vektoren
Betrag des Skalar-, Vektorproduktes
\(\displaystyle A = \frac{|r_1 \times r_2|}{2} \\ |r_1 \times r_2| = |r_1| |r_2| \sin(\alpha) \\ |r_1 \cdot r_2| = |r_1| |r_2| \cos(\alpha)\)
Fiktive Raum-, Flächenladungen
\(\displaystyle -\vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \varrho^f \qquad -\vec{n} \cdot [\![\vec{P}]\!] = \sigma^f \\~\\\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \varrho \qquad \vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec{E}\\ \vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}\)
Fiktive Ströme und Zusammenhänge der magnetischen Flussdichte
\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} \\ \vec{\nabla} \times \vec{M} (+\partial_tP) = \vec{J}^f \\ \vec{B} = \mu_0\mu_r \vec{H} = \mu_0(\vec{H}+\vec{M})\)
Wenn Verschiebungsstrom vernachlässigt gilt
\(\frac{1}{\mu_0} \vec{\nabla} \times \vec{B} = J + J^f \\ \frac{1}{\mu_0 \mu_r} \vec{\nabla} \times \vec{B} = J\)
Feldergänzungen für bewegte Körper
Die gestrichenen Größen sind die, welche die in Bewegung befindlichen Körper erfahren.
Die ungestrichenen Größen gelten im Ruhesystem
\(\vec{E}' = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \qquad \vec{B}' = \vec{B} \\\vec{H}' = \vec{H} - \vec{v} \times \vec{D} \qquad \vec{D}' = \vec{D} \\\vec{M}' = \vec{M} + \vec{v} \times \vec{P} \qquad \vec{P}' = \vec{P} \\ \vec{J}' = \vec{J} - \vec{v} \rho\qquad\qquad \vec{\rho}' = \vec{\rho} \\\vec{K}' = \vec{K} - \vec{v} \sigma\qquad\qquad \vec{\sigma}' = \vec{\sigma}\)
Satz von Stokes (erweitert)
\(\displaystyle \int_{\partial A} \vec{s} \cdot \vec{f} ds = \\ \displaystyle = \int_{ A'} \vec{n}\cdot (\vec{\nabla} \times \vec{f} ) dA + \int_{C} \vec{s} \cdot [\![ \vec{f}]\!] ds \)
Satz von Gauß (erweitert)
\(\displaystyle \int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{f} dA = \\ \displaystyle = \int_{ V'} \vec{\nabla} \cdot\vec{f} dV + \int_{S} \vec{n} \cdot [\![ \vec{f}]\!] dA \)
Bestimmung der Polarisation und Magnetisierung
\(\vec{v} = \Omega\vec{e}_z \times \rho \vec{e}_\rho = \Omega\rho \vec{e}_\alpha \\ \vec{J}^f = \vec{\nabla} \times \vec{M} \qquad \vec{K}^f =\vec{n} \times [\![ \vec{M}]\!] \qquad \)
Vektoralgebra: Summen von Feldern
Summen von Feldern, sowohl Vektor-, als auch Skalarfelder können aufgespalten werden.
Vektoralgebra: Produkt von Skalarfeldern
\(\vec{\nabla}(fg) = \)
\(\vec{\nabla}(fg) = f\vec{\nabla}g + g\vec{\nabla}f\)
Vektoralgebra: Produkte von Skalarfeldern mit Vektorfeldern
\(\vec{\nabla} \cdot (f\vec{g}) = \\ \vec{\nabla} \times (f\vec{g}) =\)
\(\vec{\nabla} \cdot (f\vec{g}) = f\vec{\nabla} \cdot \vec{g} + \vec{g} \cdot \vec{\nabla}f \\ \vec{\nabla} \times (f\vec{g}) = f (\vec{\nabla} \times \vec{g}) + (\vec{\nabla}f) \times \vec{g}\)
Vektoralgebra: Skalares Produkt von Vektorfeldern
\(\vec{\nabla}(\vec{f}\cdot\vec{g}) = \)
\(\vec{\nabla}(\vec{f}\cdot\vec{g}) = \\ = \vec{f}\cdot \vec{\nabla}\vec{g} + \vec{g} \cdot \vec{\nabla}\vec{f} + \vec{f} \times (\vec{\nabla} \times \vec{g})+ \vec{g} \times (\vec{\nabla} \times \vec{f})\)
Vektoralgebra: Vektorielle Produkte von Vektorfeldern
\(\vec{\nabla} \cdot(\vec{f} \times \vec{g}) = \\ \vec{\nabla} \times (\vec{f} \times \vec{g}) = \)
\(\vec{\nabla} \cdot(\vec{f} \times \vec{g}) = \\ \qquad= \vec{g} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{f}) - \vec{f} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{g}) \\~\\\vec{\nabla} \times (\vec{f} \times \vec{g}) = \\ \qquad = \vec{f} (\vec{\nabla} \cdot \vec{g}) - \vec{g} (\vec{\nabla} \cdot \vec{f}) + \vec{g} (\vec{\nabla} \vec{f}) - \vec{f} (\vec{\nabla} \vec{g})\)
Vektoralgebra: Identitäten
\(\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla}f) = \nabla^2f \\ \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}f) = \vec{0} \\ \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{f}) = 0 \\ \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}\times \vec{f}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{f}) - \nabla^2 \vec{f}\)
Haftkraft
Flussdichtellinien normal zur Fläche wirken anziehend.
Parallel gelegene wirken abstoßend.
\(\displaystyle \vec{F}_R^{\:e} = \int_{dV} \frac{1}{\mu_0}(\vec{n} \cdot \vec{B} \vec{B}- \frac{1}{2} B^2 \vec{n})dA\)
Induktivität und gespeicherte Energie einer Spule
\(\displaystyle L = \frac{\mu_0N^2A}{l} \qquad W = \frac{LI^2}{2}\)
Allgemeine Diffusionsbeispiele
bei:
\(\displaystyle H(x,0) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\left( \frac{n\pi}{a}x\right) = H_0\)
hier gilt für \(\displaystyle C_n = \frac {2}{a} \int_0^a H_0 \sin\left( \frac{n\pi}{a}x\right) dx\)
Berechnung der Induktivität/Kapazität in Kugelkoordinaten
\(D_r = K/r^2\)
Elektrische Feldstärke mit Vektor-, und Skalarpotential dargestellt
\(\vec{E} = -\partial_t\vec{A} -\vec{\nabla}\varphi\)
Gleichungen für Leiterstrom und Leiterspannung
\(\partial_xU + L'\partial_tI + R'I = 0 \\ \partial_xI + C'\partial_tU + G'U = 0 \)
Lösen von Gleichungen mit dem Voyage200
solve( gl1 and gl2 and gl3, {x,y,z})
Zusammenhang zwischen Permeabilität Permitivität und Lichtgeschwindigkeit
\(\mu_0\varepsilon_0c_0^2 = 1\)
Rotation eines Vektors in kartesischen Koordinaten
\(\displaystyle \vec{\nabla} \times \vec{f} = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{i,j,k} \; \partial_i f_j \; \vec{e}_k\)
Wichtiges zum Pointing Satz
\(\vec{\nabla} \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) =\)
\(\vec{\nabla} \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) = \vec{H} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{E}) - \vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{H}) \\ ~ \\ \displaystyle \int_{\partial V} -\vec{n} \cdot (\vec{E} \times \vec{H} )dA = \int_V \partial_t \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\mu_0} B^2 + \varepsilon_0 E^2 \right) + \vec{J}\vec{E}\; dV\)
Energiefluss durch den Rand = Zunahme der EM-Energie + Wechselwirkung mit anderen Systemen
Winkelberechnung bei anisotropen Dielektrika/Magnetika
Alpha ist der Winkel von x-Achse zu E und Gamma von x-Achse zu D
\(\displaystyle \vec{D} = \varepsilon \left( \substack{\cos(\alpha) \\ \sin(\alpha)} \right) |\vec{E}| = \left( \substack{\cos(\gamma) \\ \sin(\gamma)} \right) |\vec{D}|\)
untere Gleichung durch obere und auf winkel umstellen!
Eine der Auswirkungen vom Satz von Schwarz
\(\displaystyle \partial_v x = \frac{1}{\partial_x v} \)
Folgerungen aus der verschwindenden Rotation bzw Divergenz von E
\(\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \varphi \text{ existiert mit } \vec{E} = -\vec{\nabla}\varphi \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{V} \text{ existiert mit } \vec{E} = \vec{\nabla} \times \vec{V}\)
Die Rotation eines Gradienten verschwindet genauso wie die Divergenz einer Rotation!
