analysis
Schulmathematik
Schulmathematik
161)
f(x) = (wurzel x) e-x
162)
163)
164)
???
165) Diskutieren Sie, wie geeignete Optimierungsaufgaben zum allgemeinbildenden Wert des Mathematikunterrichts beitragen können!
166) Was wird im Hinblick auf mathematische Lösungsstrategien für Anwendungsaufgaben unter dem "empirisch-numerischen Standpunkt" und dem "theoretischen Standpunkt" verstanden?
167) Führen Sie die Ihnen bekannten elementaren (nicht auf der Analysis beruhenden) Methoden an, die im Unterricht zur Lösung von Extremwertaufgaben zur Verfügung stehen!
168) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe (mit oder ohne Kontext), bei der die Lösung ein Randextremum ist!
Der Ellipse soll das flächengrößte achsenparallelle Rechteck eingeschrieben werden. Bestimme die Seitenlänge und die Fläche des Rechtecks.
169) Formulieren Sie die Mittelungleichung! Vergessen Sie nicht jenen Teil der Aussage , der die Mittelungleichung zu einer Lösungsmethode für manche Extremwertaufgaben macht!
170) Beweisen Sie die Mittelungleichung für n=2!
???
171) Führen Sie eine der elementaren Lösungsmethoden des Isoperimetrischen Problems für Rechtecke vor!
172) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe, die durch symmetrisierung gelöst werden kann!
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175) Lösen Sie mit Hilfe der Analysis: Welches Rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse 1 besitzt den Größten Umfang?
176)
???
177)
178) ?
?
179) ?
?
180)
3) Beschreiben Sie die Grundzüge eines Kompetenzmodells!
was sind die Winter'schen Grunderfahrungen?
2) Was ist eine "Grundvorstellung" zu einem mathematischen Begriff?
Eine Grundvorstellung zu einem mathematischen Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem Sinn gibt.
4) Was ist eine "Fundamentale Idee" in einer Wissenschaft?
5) Beispiele für "Fundamentale Ideen" in der Mathematik
Zahl, Messen, Algorithmus, Optimieren, Symmetrie, Näherung, funktionaler Zusammenhang, Änderung, Mittelung (Ausgleich), Rekonstruieren
6) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Allgemeinen Ziele" des Mathematikunterrichts!
Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist, dass SuS lernen (außermathematische) Probleme mithilfe von speziellen Methoden oder Verfahren zu lösen (schöpferisch-kreativer Gesichtspunkt) und im Stande sind zu interpretieren und mit versch. Darstellungsformen wie Grafiken und Tabellen zu arbeiten (sprachlich - kommunikativer Gesichtspunkt).
7) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Inhaltlichen Ziele" des AMthematikunterrichts!
Zum Begriffsverständnis gehört, dass Lernende:
8) Geben Sie einige Argumente, die für den Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht sprechen!
9) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen GV zum Folgenbegriff und beschreiben Sie diese kurz.
10) Wie kann der Bergiff der Folge in den Jahren vor der 6.Klasse vorbereitet werden? Nennen Sie einige Möglichkeiten!
11) Nennen Sie einige Beispiele für Unterrichtsrelevante Folgen, die keine Zahlenfolgen sind!
Die Mathematik kennt zahlreiche interessante und wichtige Typen von Folgen: Folgen von geometrischen Figuren, diskrete Musterfolgen, Folgen von Vektoren, Folgen von komplexen Zahlen, Folgen von Matrizen, Folgen von Vektorräumen und viele andere. Das entspricht einer Auflistung von nummerierten Objekten, die keine Zahlen sind.
12) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, das Thema ausführlich zu behandeln.
13) Nennen Sie die in der VO besprochenen Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff und beschreiben Sie sie kurz.
14) Geben sie eine genaue Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwertes.
Konvergenz: Wir nennen eine reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge (an)n aus N. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn es für jedes epsilon>0 genau ein nepsilon gibt, sodass für alle n aus N mit n>=nepsilon giilt:
Betrag (an-a)< epsilon.
15) Geben Sie eine Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwerts, die zwar genau ist, aber möglichst wenig "Formalismus" benötigt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn für jede positive reelle Zahl nur endlich viele Folgenglieder weiter von a entfernt sind als ?.
Konvergenz einer Folge: Besitzt eine reelle Zahlenfolge einen Grenzwert, so nennen wir sie konvergent, andernfalls divergent.
16) Was ist mit der Formulierung "Dynamische Sichtweise" im Zusammenhang mit dem Grenzwertbegriff gemeint? Inwiefern kann sie hinderlich sein?
17) Formulieren und begründen Sie Ihre Meinung: Soll man im Matheunterricht einen formal-exakten oder einen intuitiven Grenzwertbegriff vermitteln?
Einen intuitiven Grenzwertbegriff! Laut Danckwerts und Vogel hebt die exakte Definition des Grenzwertes die Schwierigkeit nicht auf zu verstehen, was ein Grenzwert ist. Im Gegenteil: Die Def. umgeht die Probleme geradezu, indem sie eine Operationalisierung bereitstellt und damit den Grenzwertbegriff handhabbar macht.
18) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, im MAtheunterricht rekursiv definierte Folgen nicht zu kurz kommen zu lassen!
19) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen Termdefinierter Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
20) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen rekursiv def. Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
Ich würde die SuS auffordern, die einzelnen Folgenglieder graphisch darzustellen, denn: "Grafische Darstellungen helfen oft, die wesentlichen Eigenschaften eines mathematischen Objektes schnell zu "überblicken".
Im Fall der Folge würde ich zur Darstellung einen Punktgraphen wählen, da aus diesem gut auf die Monotoniereigenschaften und Beschränktheit der Folge schließen kann.
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Lernkarten
81) Sei c>0. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion! (Die Kenntnis der Ableitung des natürlichen Logarithmus und der Kettenregel dürfen Sie voraussetzen)
f(x)=ln(cx)
(ln(cx))' = (1/(cx))*c = 1/x
82) Beweisen Sie die Ableitungsregel (BILD) mit vollständiger Induktion! (Produktregel und BILD vorraussetzen)
83) Beweisen Sie die Ableitungsregel (xr)' = rxr-1 für r aus R und x>0.
84) Formulieren Sie din für SuS verständliches Plausibilitätsargument, dass sin'(x) = cos(x) gilt!
85) Im Unterricht sind die Ableitungen und die wichtigsten numerischen Werte der Winkelfunktionen bereits bekannt. BEweisen Sie auf der BAsis dieses Vorwissen Ihrer SuS (auf fachlich korrekte Weise), dass BILD gilt!
86) Begründen Sie die Formel für die Ableitung der Cosinusfunktion unter der Voraussetzung, dass die grundlegenden Eigenschaften der Winkelfunktion, die Ableitung der Sinusfunktion und die Kettenregel bereits bekannt sind!
???
87) Geben Sie eine didaktische Faustregel an, die Ihnen - wenn die Zeit knapp wird - bei der Entscheidung hilft, welche allgemeinen Aussagen (wie Ableitungsregeln) im Unterricht hergeleitet bzw. begründet werden sollen und bei welchen es vertretbar ist, sie lediglich mitzuteilen!
88) Formulieren Sie das Prinzip von Cavalieri für Flächeninhalte ebener Figuren!
In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.
89) Formulieren Sie das Prinzip von Cavalieri für Volumsinhalte von Körpern!
Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern den gleichen Flächeninhalt besitzt, so haben die beiden Körper gleich große Volumina.
90) Berechnen Sie das Volumen der Kugel mit Hilfe des Prinzip von Cavalieri!
91) Geben Sie eine (fachlich korrekte) Definition der (riemann-)Integrierbarkeit und des (Riemann-)Integrals einer Funktion.
92) Was ist eine Riemannsche Summe (Zwischensumme)? Geben Sie eine fachliche korrekte Definition!
93) Sei f: [0,1] -> R eine integrierbare Funktion. Geben Sie eine Formel für
???
94) Formulieren Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung!
96) Formulieren Sie den Hauptsatz der Analysis (fachlich korrekt)!
97) Sei f: [0, unendlich) --> eine Funktion, die in jedem abgeschlossenen Intervall [0,A] mit A>0 integrierbar ist. Wann sagt man, dass das uneigentliche Integral existiert?
s. Def. [7.35]
98)
???
99)
???
100)
101) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen "Aspekte" zum Integralbegriff und beschreiben Sie sie kurz!
Die drei Teilbereiche des Integralbegriffs
Der Produktsummenaspekt betont die Definition/Deutung/Berechnung von Integralen über Riemannsche Summen (Integral als Grenzwert einer Summe bzw. Produktsumme)
Der Stammfunktionsaspekt betont die Deutung/Berechnung von Integralen über den Hauptsatz
Der Maßaspekt betont die Verwendung des Integrals zum "Messen".
102) Beschreiben Sie den Produktsummenaspekt des Integralbegriffs!
103) Beschreiben Sie den Stammfunktionsaspekt des Integralbegriffs!
104) Aus welchem Grund wird in der didaktischen Literatur vielfach davon abgeraten, das Integral im Unterricht über die Stammfunktion einzuführen?
1. Das wäre ein Musterbeispiel für eine antididaktische Inversion (= hier wird etwas, das eigentlich ein tiefliegender Satz ist zur Definition degradiert)
2. Auch mathematisch problematisch, denn "integrierbar sein" und "eine Stammfunktion besitzen" sind versch Eigenschaften einer Funktion und sollten nicht gleichgesetzt werden.
105) Nennen Sie die in der VO besprochenen GV zum Integralbegriff und beschreiben Sie sie kurz!
106) Beschreiben Sie die Flächeninhaltsgrundvorstellung zum Integral!
107) Einfache Aufgabe, die SuS hilft die flächeninhatsgrundvorstellung zum Integralbegriff auszubilden!
108) Beschreiben Sie die Rekonstruktionsgrundvorstellung zum Integralbegriff.
109) Formulieren Sie ein einfache Aufgabe, die SuS hilft, die Rekonstruktionsgrundvorstellung zum Integralbegriff auszubilden!
Badewanne mit zeitlich variierendem Zufluss:
Flussgröße: Zuflussrate (Liter/Sekunde)
Bestandgröße: Wassermenge (Liter)
Beispiele dieser Art erlauben eine intuitive Erfassung des Hauptstzes und des Stammfunktionsaspekts, durchaus auch ohne Formeln(!), gestützt auf die Realsituation und die Verwendung von Einheiten, die es erleichtern, den Größen eine inhaltliche Bedeutung zu geben. Hier zeigt sich wieder die Schlüsselfunktion des Wortes "pro" (in den Einheiten).
Nachteil: Negative Werte der Bestandsgröße haben keine inhaltliche Bedeutung.
110) Beschreiben Sie die Mittelwertsgrundvorstellung zum Integralbegriff!
Der Mittelwert bzw der Mittelwertsatz der Integralrechnung dient nicht der Definition des Integrals. Daher handelt es sich hier nicht um einen Aspekt als Teilbereich des Integralbegriffs, sondern um eine inhaltliche Deutung, die dem Integralbegriff Sinn gibt. Die Mittelwertsvorstellung des Integrals kann als schrittweise Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels interpretiert werden. Hier wird der Zusammenhang zum Produktsummenaspekt deutlich.
111) Formulieren Sie eine einfache Aufgabe, die SuS hilft, die Mittelwertsgrundvorstellung zum Integralbegriff auszubilden!
112) Beschreiben Sie die Kumulationsgrundvorstellung zum Integralbegriff!
113) Einfache Aufgabe, die SuS hilft, die Kumulationsgrundvorstellung zum Integralbegriff auszubilden!
114) Was versteht man unter dem "Integral als verallgemeinertem Produkt"? Zwei BSP!
115) Was versteht man unter dem "integral als verallgemeinerter Summe"? Geben Sie zwei BSP!
116) Wie können Sie den Hauptsatz der Analysis im Unterricht auf heuristische Weise begründen?
117) Intetessierte SchülerInnen fragen Sie, wie man den Hauptsatz der Analysis fachlich korrekt beweist. Führen Sie es vor!
118) Geben Sie ein BSP für einen Anwendungskontext, in dem der Zusammenhang zwischen Bestandsgröße(=Integral der Flussgröße) und Flussgröße (=lokale/momentane Änderungsrate der Bestandsgröße) unter Verwendung sinnvoll gewählter Physikalischer Einheiten deutlich wird!
Badewanne mit zeitlich variierendem Zufluss:
Flussgröße: Zuflussrate (Liter/Sekunde)
Bestandgröße: Wassermenge(Liter)
oder
Flussgröße Geschwindigkeit (km/h)
Bestandgröße: zurückgelegte Wegstrecke (km)
Hier funkt die Vorstellung der "Ortsänderung" dazwischen. "Ort" entspricht einem Punkt im Raum und ist schwieriger als "Bestandgröße" zu verstehen, da 3Meter schlechter als Bestandgröße zu denken sind als 3 Liter.
119) Wie kann der Begriff der Stammfunktion durch ein Richtungsfeld visualisiert werden? Geben Sie ein BSP und skizzieren Sie das zugehörige Richtungsfeld!
120)
A: Ein Knick in der Funktion führt zu einer Sprungstelle in der 1.Ableitung
121) Berechnen Sie den Mittelwert der folgenden Funktion:
h(x)=x2 + 1
