analysis
Schulmathematik
Schulmathematik
161)
f(x) = (wurzel x) e-x
162)
163)
164)
???
165) Diskutieren Sie, wie geeignete Optimierungsaufgaben zum allgemeinbildenden Wert des Mathematikunterrichts beitragen können!
166) Was wird im Hinblick auf mathematische Lösungsstrategien für Anwendungsaufgaben unter dem "empirisch-numerischen Standpunkt" und dem "theoretischen Standpunkt" verstanden?
167) Führen Sie die Ihnen bekannten elementaren (nicht auf der Analysis beruhenden) Methoden an, die im Unterricht zur Lösung von Extremwertaufgaben zur Verfügung stehen!
168) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe (mit oder ohne Kontext), bei der die Lösung ein Randextremum ist!
Der Ellipse soll das flächengrößte achsenparallelle Rechteck eingeschrieben werden. Bestimme die Seitenlänge und die Fläche des Rechtecks.
169) Formulieren Sie die Mittelungleichung! Vergessen Sie nicht jenen Teil der Aussage , der die Mittelungleichung zu einer Lösungsmethode für manche Extremwertaufgaben macht!
170) Beweisen Sie die Mittelungleichung für n=2!
???
171) Führen Sie eine der elementaren Lösungsmethoden des Isoperimetrischen Problems für Rechtecke vor!
172) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe, die durch symmetrisierung gelöst werden kann!
173)
174)
175) Lösen Sie mit Hilfe der Analysis: Welches Rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse 1 besitzt den Größten Umfang?
176)
???
177)
178) ?
?
179) ?
?
180)
3) Beschreiben Sie die Grundzüge eines Kompetenzmodells!
was sind die Winter'schen Grunderfahrungen?
2) Was ist eine "Grundvorstellung" zu einem mathematischen Begriff?
Eine Grundvorstellung zu einem mathematischen Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem Sinn gibt.
4) Was ist eine "Fundamentale Idee" in einer Wissenschaft?
5) Beispiele für "Fundamentale Ideen" in der Mathematik
Zahl, Messen, Algorithmus, Optimieren, Symmetrie, Näherung, funktionaler Zusammenhang, Änderung, Mittelung (Ausgleich), Rekonstruieren
6) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Allgemeinen Ziele" des Mathematikunterrichts!
Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist, dass SuS lernen (außermathematische) Probleme mithilfe von speziellen Methoden oder Verfahren zu lösen (schöpferisch-kreativer Gesichtspunkt) und im Stande sind zu interpretieren und mit versch. Darstellungsformen wie Grafiken und Tabellen zu arbeiten (sprachlich - kommunikativer Gesichtspunkt).
7) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Inhaltlichen Ziele" des AMthematikunterrichts!
Zum Begriffsverständnis gehört, dass Lernende:
8) Geben Sie einige Argumente, die für den Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht sprechen!
9) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen GV zum Folgenbegriff und beschreiben Sie diese kurz.
10) Wie kann der Bergiff der Folge in den Jahren vor der 6.Klasse vorbereitet werden? Nennen Sie einige Möglichkeiten!
11) Nennen Sie einige Beispiele für Unterrichtsrelevante Folgen, die keine Zahlenfolgen sind!
Die Mathematik kennt zahlreiche interessante und wichtige Typen von Folgen: Folgen von geometrischen Figuren, diskrete Musterfolgen, Folgen von Vektoren, Folgen von komplexen Zahlen, Folgen von Matrizen, Folgen von Vektorräumen und viele andere. Das entspricht einer Auflistung von nummerierten Objekten, die keine Zahlen sind.
12) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, das Thema ausführlich zu behandeln.
13) Nennen Sie die in der VO besprochenen Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff und beschreiben Sie sie kurz.
14) Geben sie eine genaue Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwertes.
Konvergenz: Wir nennen eine reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge (an)n aus N. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn es für jedes epsilon>0 genau ein nepsilon gibt, sodass für alle n aus N mit n>=nepsilon giilt:
Betrag (an-a)< epsilon.
15) Geben Sie eine Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwerts, die zwar genau ist, aber möglichst wenig "Formalismus" benötigt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn für jede positive reelle Zahl nur endlich viele Folgenglieder weiter von a entfernt sind als ?.
Konvergenz einer Folge: Besitzt eine reelle Zahlenfolge einen Grenzwert, so nennen wir sie konvergent, andernfalls divergent.
16) Was ist mit der Formulierung "Dynamische Sichtweise" im Zusammenhang mit dem Grenzwertbegriff gemeint? Inwiefern kann sie hinderlich sein?
17) Formulieren und begründen Sie Ihre Meinung: Soll man im Matheunterricht einen formal-exakten oder einen intuitiven Grenzwertbegriff vermitteln?
Einen intuitiven Grenzwertbegriff! Laut Danckwerts und Vogel hebt die exakte Definition des Grenzwertes die Schwierigkeit nicht auf zu verstehen, was ein Grenzwert ist. Im Gegenteil: Die Def. umgeht die Probleme geradezu, indem sie eine Operationalisierung bereitstellt und damit den Grenzwertbegriff handhabbar macht.
18) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, im MAtheunterricht rekursiv definierte Folgen nicht zu kurz kommen zu lassen!
19) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen Termdefinierter Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
20) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen rekursiv def. Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
Ich würde die SuS auffordern, die einzelnen Folgenglieder graphisch darzustellen, denn: "Grafische Darstellungen helfen oft, die wesentlichen Eigenschaften eines mathematischen Objektes schnell zu "überblicken".
Im Fall der Folge würde ich zur Darstellung einen Punktgraphen wählen, da aus diesem gut auf die Monotoniereigenschaften und Beschränktheit der Folge schließen kann.
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Flashcards
122) Berechne:
123) x bezeichne die Koordinate längs eines Flusses. An der Stelle x ist die Wassergeschwindigkeit gleich v(x). Sie ist überall positiv. Ein Boot treibt auf dem Wasser - Seine Geschwindigkeit an der Stelle x ist ebenfalls v(x). Geben Sie eine Formel für die Zeit an, die das Boot benötigt, um von der Stelle x0 zur Stelle x1 zu gelangen! (Klarerweise wird angenommen, dass x0<x1 gilt.)
124) Was versteht man unter der "Linearität des Integrals"?
???
125) Geben Sie eine für den Unterricht geeignete Begründung der Integrationsregel
Geometrisch anhand der (orientierten) Flächeninhalte von einander entsprechenden "schmalen" Rechtecken.
126) Geben Sie eine für den Unterricht geeignete begründung der integrationsregel:
??
127) Zeigen Sie, wie die Formel für die Fläche der Ellipse im Unterricht hergeleitet werden kann! (Die Formel für die Kreisfläche kann dabei als bekannt vorausgesetzt werden.)
128) Warum schreibt man...
129) Formulieren Sie die Substitutionsmethode für unbestimmte Integrale!
130) Wie begründen Sie im Unterricht die Substitutionsmethode für unbestimmte Integrale?
131)
???
132)
???
133)
??
134)
??
135)
??
136)
??
137)
Ist F(x) die Stammfunktion von f(x), so lautet die Formel: ???
Dies folgt aus: ?? (innere mal äußere Ableitung)
Durch Umformung und Integration folgt dann obige Formel.
138) Formulieren und begründen Sie die Formel zur Partiellen Integration!
139) Berechnen mit part. Integration!
140) Berechne:
141) Berechne:
142) Beschreiben Sie die Trapezregel zur Näherungsweisen numerischen Integration!
143) Beweisen Sie das Kriterium von Fermat (fachlich korrekt)!
144) Extremwertaufgabe:
145)
f(x)=x3 an der Stelle x=0
146) Formulieren Sie den Monotoniesatz für Intervalle (fachlich korrekt)!
147) Geben Sie ein Beispiel für eine Differenzierbare, streng monotone Funktion, für die die Ableitung an einer Stelle gleich 0 ist.
f(x)=x3
148) Formulieren und bewesen Sie (fachlich korrekt) den lokalen Monotoniesatz!
149) Geben Sie ein BSP für eine zweimal differenzierbare Funkton, die an einer Stelle ein lokales Extremum hat, und deren zweite Ableitung an dieser Stelle gleich 0 ist.
f(x)=x4
150)
f'(3)=0
f'(2.99)<0 und f'(3.01)>0 -> Steigungsänderung von neg auf pos -> Minimum
151) Geben Sie ein BSP für eine zweimal diffbare Fkt, die eine Wendestelle besitzt, und deren zweite Ableitung an dieser Stelle gleich 0 ist!
f(x)=x3
153) Geben Sie ein Bsp für eine Linksgekrümmte Fkt
152) Geben Sie ein Bsp für eine linksgekrümmte Fkt R->R, deren zweite Ableitung nicht überall positiv ist!
f(x)=x4
154) In einem Lehrbuch wird die Krümmung des Graphen einer zweimal diffbaren Fkt f an der Stelle x durch die Formel ... definiert. Was bedeutet diese Größe geometrisch?
155) Asymptoten ermitteln:
156)
Funktion der Form f(x):= (ax2+bx+c)/(dx-e)
157)
Aufgrund der Grenzwertsätze kann man den Grenzwert 2/3 für diese Funktion ermitteln.
158) Argumentieren Sie (fachlich korrekt), dass die Ableitung einer geraden diffbaren Fkt an der Stelle 0 gleich 0 ist!
159) Zeigen Sie (am besten unter Verwendung der Kettenregel), dass die Ableitung einer Geraden differenzierbaren Fkt ungerade ist.
160) Zeigen Sie (am besten unter Verwendung der Kettenregel), dass die Ableitung einer ungeraden differenzierbaren Fkt gerade ist!
161)
f(x) = (wurzel x) e-x
