analysis
Schulmathematik
Schulmathematik
161)
f(x) = (wurzel x) e-x
162)
163)
164)
???
165) Diskutieren Sie, wie geeignete Optimierungsaufgaben zum allgemeinbildenden Wert des Mathematikunterrichts beitragen können!
166) Was wird im Hinblick auf mathematische Lösungsstrategien für Anwendungsaufgaben unter dem "empirisch-numerischen Standpunkt" und dem "theoretischen Standpunkt" verstanden?
167) Führen Sie die Ihnen bekannten elementaren (nicht auf der Analysis beruhenden) Methoden an, die im Unterricht zur Lösung von Extremwertaufgaben zur Verfügung stehen!
168) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe (mit oder ohne Kontext), bei der die Lösung ein Randextremum ist!
Der Ellipse soll das flächengrößte achsenparallelle Rechteck eingeschrieben werden. Bestimme die Seitenlänge und die Fläche des Rechtecks.
169) Formulieren Sie die Mittelungleichung! Vergessen Sie nicht jenen Teil der Aussage , der die Mittelungleichung zu einer Lösungsmethode für manche Extremwertaufgaben macht!
170) Beweisen Sie die Mittelungleichung für n=2!
???
171) Führen Sie eine der elementaren Lösungsmethoden des Isoperimetrischen Problems für Rechtecke vor!
172) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe, die durch symmetrisierung gelöst werden kann!
173)
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175) Lösen Sie mit Hilfe der Analysis: Welches Rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse 1 besitzt den Größten Umfang?
176)
???
177)
178) ?
?
179) ?
?
180)
3) Beschreiben Sie die Grundzüge eines Kompetenzmodells!
was sind die Winter'schen Grunderfahrungen?
2) Was ist eine "Grundvorstellung" zu einem mathematischen Begriff?
Eine Grundvorstellung zu einem mathematischen Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem Sinn gibt.
4) Was ist eine "Fundamentale Idee" in einer Wissenschaft?
5) Beispiele für "Fundamentale Ideen" in der Mathematik
Zahl, Messen, Algorithmus, Optimieren, Symmetrie, Näherung, funktionaler Zusammenhang, Änderung, Mittelung (Ausgleich), Rekonstruieren
6) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Allgemeinen Ziele" des Mathematikunterrichts!
Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist, dass SuS lernen (außermathematische) Probleme mithilfe von speziellen Methoden oder Verfahren zu lösen (schöpferisch-kreativer Gesichtspunkt) und im Stande sind zu interpretieren und mit versch. Darstellungsformen wie Grafiken und Tabellen zu arbeiten (sprachlich - kommunikativer Gesichtspunkt).
7) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Inhaltlichen Ziele" des AMthematikunterrichts!
Zum Begriffsverständnis gehört, dass Lernende:
8) Geben Sie einige Argumente, die für den Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht sprechen!
9) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen GV zum Folgenbegriff und beschreiben Sie diese kurz.
10) Wie kann der Bergiff der Folge in den Jahren vor der 6.Klasse vorbereitet werden? Nennen Sie einige Möglichkeiten!
11) Nennen Sie einige Beispiele für Unterrichtsrelevante Folgen, die keine Zahlenfolgen sind!
Die Mathematik kennt zahlreiche interessante und wichtige Typen von Folgen: Folgen von geometrischen Figuren, diskrete Musterfolgen, Folgen von Vektoren, Folgen von komplexen Zahlen, Folgen von Matrizen, Folgen von Vektorräumen und viele andere. Das entspricht einer Auflistung von nummerierten Objekten, die keine Zahlen sind.
12) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, das Thema ausführlich zu behandeln.
13) Nennen Sie die in der VO besprochenen Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff und beschreiben Sie sie kurz.
14) Geben sie eine genaue Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwertes.
Konvergenz: Wir nennen eine reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge (an)n aus N. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn es für jedes epsilon>0 genau ein nepsilon gibt, sodass für alle n aus N mit n>=nepsilon giilt:
Betrag (an-a)< epsilon.
15) Geben Sie eine Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwerts, die zwar genau ist, aber möglichst wenig "Formalismus" benötigt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn für jede positive reelle Zahl nur endlich viele Folgenglieder weiter von a entfernt sind als ?.
Konvergenz einer Folge: Besitzt eine reelle Zahlenfolge einen Grenzwert, so nennen wir sie konvergent, andernfalls divergent.
16) Was ist mit der Formulierung "Dynamische Sichtweise" im Zusammenhang mit dem Grenzwertbegriff gemeint? Inwiefern kann sie hinderlich sein?
17) Formulieren und begründen Sie Ihre Meinung: Soll man im Matheunterricht einen formal-exakten oder einen intuitiven Grenzwertbegriff vermitteln?
Einen intuitiven Grenzwertbegriff! Laut Danckwerts und Vogel hebt die exakte Definition des Grenzwertes die Schwierigkeit nicht auf zu verstehen, was ein Grenzwert ist. Im Gegenteil: Die Def. umgeht die Probleme geradezu, indem sie eine Operationalisierung bereitstellt und damit den Grenzwertbegriff handhabbar macht.
18) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, im MAtheunterricht rekursiv definierte Folgen nicht zu kurz kommen zu lassen!
19) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen Termdefinierter Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
20) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen rekursiv def. Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
Ich würde die SuS auffordern, die einzelnen Folgenglieder graphisch darzustellen, denn: "Grafische Darstellungen helfen oft, die wesentlichen Eigenschaften eines mathematischen Objektes schnell zu "überblicken".
Im Fall der Folge würde ich zur Darstellung einen Punktgraphen wählen, da aus diesem gut auf die Monotoniereigenschaften und Beschränktheit der Folge schließen kann.
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Lernkarten
41) Gegeben ist die Familie von Fkt. Jede Fkt besitzt (genau) einen Hochpunkt. Bestimmen Sie die zugehörige Ortskurve, d.H. die Menge aller dieser Hochpunkte! Um welchen kurventyp handelt es sich?
42) Geben Sie ein Beispiel für die Parameterdarstellung einer Kurve (die keine Gerade ist), und skizzieren Sie die Kurve!
43) Worin besteht die "Gewohnheit des funktionalen Denkens"?
In den "Meaner Vorschlägen" sind Leitlinien für den Mathematikunterricht formuliert. Zwei Ziele sind ebsonders wichtig:
die Stärke der räumlichen Anschauung
die Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens
Def. "funktionales Denken": Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktionen ist. -> funktionales Denken wird an mathematischen Begriff der Funktion gekoppelt und wird somit fassbar Funktionales Denken bedeutet:
Phänomene funktionaler Zusammenhänge erfassen
GV zu Funktonen angemessen nutzen
Darstellungsformen aäquat und verständig einsetzen
44) ????
45) Geben Sie ein Argument, das dafür spricht, im Analysisunterricht manchmal eine "Monsterfunktion" vorzustellen!
Um SuS deutlich zu machen welche "kuriosen" und unvermuteten Funktionen es gibt.
und
Wenn man sich mit der Stätigkeit und Differenzierbarkeit beschäftigt. Es gibt Fkt, die an jeder Stelle des Definitionsbereiches stetig sind, aber an keiner differnzierbar. So kann man den SuS plausibel machen, dass die Umkehrung des Satzes "Diffbarkeit impliziert Stetigkeit" nicht gilt. Am BSP von Monsterfunktionen kann man SuS auch erklären, dass die Diffbarkeit einer Fkt alles andere als selbstverständlich ist und es sehr wohl angebracht ist, sich damit auch im Unterricht zu beschäftigen.
46) Geben Sie ein BSP für eine Fkt, die mit Hilfe des Termns sin(1/x) konstruiert ist! Geben Sie ein didaktisches Argument, das dafür spricht, diese Fkt im Unterricht (kurz) vorzustellen.
47) Geben Sie eine (exakte) Definition der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle!
???
48) Formulieren sie (exakt) die epsilon-delta - Charakterisierung der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle.
49) Formulieren Sie (exakt), was mit der Bezeichung "Umgebungsstetigkeit" gemeint ist!
???
50) Nennen Sie die in der VO besprochenen GV zur Stetigkeit und beschreiben Sie eine kurz!
Sprungfreiheit: Der Graph einer stetigen Fkt hat keine Sprünge. Sprungstellen sind Unstetigkeitsstellen.
Vorhersagbarkeit: Kleine Änderungen der unabhängigen Werte haben nur kleine Änderungen der abhängigen (Funktions-)Werte zur Folge.
Darstellbarkeit: Der Funktionsgraph lässt sich in einem Zug ohne absetzen zeichnen.
51) Definieren Sie (exakt) den Begriff "Tangentenfunktion"!
52) Formulieren Sie (exakt) die epsilon-delta-Charakterisierung der Differenzierbarkeit einer Fkt an einer Stelle!
53) Fomrulieren Sie (exakt) die Charakterisierung der Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle als Ausdruck ihrer "lokalen Linearität" (Approximation durch eine Lineare Fkt)!
54) In welchem Sinn kann eine Differenzierbare Fkt durch eine lineare Fkt approximiert werden?
55) Nennen Sie die in der VO besprochenen GV zum Ableitungsbegriff und beschreiben Sie sie kurz!
56) Beschreiben Sie die GV der Ableitung als lokale Änderungsrate!
57) Formulieren Sie eine einfache Aufgabe, die Sus hilft, die GV der Ableitung als lokaler Änderungsrate auszubilden.
58) Beschreiben Sie die GV der Ableitung als Tangentensteigung!
Eine wichtige GV, aber nur bedingt geeignet als Motivation zur Definition der Ableitung, denn: Der Tangentenbegriff muss erweitert werden (Unterstufe v.A. Kreistangente!)
Zu einer ausgeprägten GV der Tangentensteigung gehören insbesondere
Die Vorstellung von Tangenten als Schmieggeraden,
Die Vorstellung, dass die Tangente an eine Kurve in einem Punkt die gleiche Steigung wie die Kurve hat,
Die Vorstellung, dass die Tangente die lokale Richtung einer Kurve angibt
59) Formulieren Sie eine einfache Aufgabe, die SuS hilft, die GV der Ableitung als Tangentensteigung auszubilden!
60) Beschreiben Sie die GV der "lokalen Linearität"!
f ist "lokal linear", wenn delta f näherungsweise proportional zu delta x ist.
Wichtig für Anwendungen, aber als Anlass zur Definition der Differenzierbarkeit über das Verhalten des Fehlers, ungeeignet, da diese Bed. nicht offensichtlich ist.
Beim stark vergrößerten Blick auf die Umgebung eines Punktes des Graphen einer differenzierbaren Funktion sieht man nur ein geradliniges Kurvenstück.
Für kleine Änderungen der x-Werte ist die Funktion so gut wie linear, kann also näherungsweise in einer (kleinen) Umgebung von xi durch einen linearen Zusammenhang ersetzt werden.
61) Formulieren Sie ein einfaches BSP, das den SuS hilft, die GV der "lokalen Linearität" auszubilden!
62) Beschreiben Sie die GV der Ableitung als Verstärkungsfaktor kleiner Änderungen!
63) Formulieren Sie eine einfache Aufgabe, die SuS hilft, die GV der Ableitung als Verstärkungsfaktor kleiner Änderungen auszubilden!
64) Geben Sie ein didaktisches Argument, das dagegen spricht, die Ableitung einer Funktion an einer Stelle als Steigung der Tangente an den Graphen einzuführen!
Die bekannte Vorstellung über Tangenten aus der Sekundarstufe 1, nämlich, dass Tangenten zb an einen Kreis, diesen nur in einem Punkt schneiden, muss erweitert werden. Besser ist die Vorstellung einer Schmieggerade, da zb Tangenten an den Graphen von einer Funktion mehrere Schnittpunkte mit dem Graphen haben können. Bei der Vorstellung einer Schmieggerade wird die Tangente als eine Gerade verstanden, die sich lokal dem Verlauf des Graphen anschmiegt. Sie können den Graph dabei berühren oder ihn schneiden.
65) Beschreiben Sie einige unterrichtliche Zugänge zur Einführung des Ableitungsbegriffs!
Sekanten und Tangenten (geometrische Betrachtung am Graphen)
lokale lieare Approximation: Funktionenlupe
Beschreibung von Änderungsprozessen mit mittleren und lokalen Änderungsraen (numerisch/tabellarisch, symbolisch)
Verstärkungsfaktor: Vergleich des Zusammenhangs zwischen delta x und delta f bei verschiedenen Stellen. BSP: Nachfragefunktion (Frage: Wie wirkt sich die mäßige Preissteigerung auf die Nachfrage aus?
66) Geben Sie ein Argument, das dagegen spricht, die Ableitung als die Steigung der Tangente an den Graphen einzuführen!
Wenn die Ableitung so eingeführt und definiert wird, wird das Steigungsproblem auf den Begriff der Steigung einer Geraden zurückgespielt. Die Gefahr ist jedoch, dass bei diesem Definitionsversuch die entsceiende Frage an den Rand gerät: "Was ist eine Tangente?"
Denn die übliche analytische Definition, eine Tangente sei eine Gerade, die sich dem Graphen lokal um den Berührpunkt anschmiegt geht weit über die GV der SuS zum Thema Tangente hinaus. (SuS haben bisher "nur" den geometrischen Tangentenbegriff im Kopf). Zwar hilft diese geometrische Sicht, aber bei manch analytischen Problemen (z.B.: Normalparabel) ist diese Sicht eine Sackgasse. Bei diesem Einstieg stehen die SuS vor der Schwierigkeit des Paradigmenwechsels von der globalen zur lokalen Sicht.
67) Ist die Funktion f(x)=xIxI an der Stelle 0 differenzierbar? Begründen Sie! FAlls ja, berechnen Sie die Ableitung!
68) Ist die Funktion f(x)=(x+1) IxI an der Stelle 0 differenzierbar? Begründen, berechnen!
Beidseitige Grenzwerte existieren aber sind ungleich. Damit ist f an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.
69) Ist die Funktion f(x)=(IxI+1)x an der Stelle 0 differenzierbar? Begründen, berechnen!
70) Beschreiben Sie den Unterschied zwischen einem Algorithmus und einem Kalkül!
Ein Kalkül besteht aus einer Sammlung von Regeln, enthält aber keine Vorschrift, in welcher Reihenfolge diese anzuwenden sind. Im Gegensatz dazu ist ein ALgorithmus eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Ausführung von klar definierten elementaren Schritten.
71) Es gibt versch. Möglichkeiten, SuS zu verdeutlichen, worin der Unterschied zwischen den Begriffen Stetigkeit und differenzierbarkeit liegt. Beschreiben Sie eine solche Möglichkeit.
???? Betragsfunktion bietet sich gut an.
72) Sei f eine in einem Intervall umkehrbare Funktion und f-1 ihre Umkehrfunktion. Argumentieren Sie in einer für den Matheunterricht geeignete Form, dass die Graphen von f und f-1 durch eine Spiegelung an der 1.Mediane auseinander hervorgehen!
73) Begründen Sie die Produktregel in einer für den Mathematikunterricht geeigneten Form!
74) Seien f, g und h auf ganz R definierte diffbare Fkt. Geben Sie eine Regel für die Berechnung der Ableitung der Funktion an!
75) Kann eine Funktion f: R->R, die an einer Stelle eine verschwindende Ableitung besitzt, umkehrbar sein? Bsp bzw Begründung!?
Ja, denn aus f'(x)=0 folgt nicht zwingend, dass f ein Extremum besitzt.
Hätte f an der Stelle, wo die Ableitung verschwindet, eine Extremstelle, so wäre sie nicht umkehrbar, da es sich sonst nicht mehr um eine bijektive Funktion handelt (es gäbe mind. zwei gleiche f(x) bei unterschiedlichen x).
BSP: f(x)=x3 und f-1(x)= x1/3
Hier ist bei x=0 die Ableitung f'(x)=0, jedoch handelt es sich hier nicht um ein Extremum, denn die Funktion ist weiterhin streng monoton wachsend und bleibt bijektiv, also umkehrbar.
76) Die Fkt f(x)=x3 -3x besitzt keine Umkehrfunktion, aber um zumindest eine lokale Umkehrfunktion in der Nähe der Stelle 0 zu bekommen, muss man anstelle von f eine umkehrbare Funktion der Form g:A->B, g(x) = x3 - x betrachten, wobei A und B Intervalle sind. Außerdem soll A so groß sein wie möglich.
i) Geben Sie A und B an!
ii) Ist die Umkehrfunktion g-1 an jeder Stelle Ihres Definitionsbereichs diffbar? (Beantworten ohne die Kenntnis eines geschlossenen Funktionterms für g-1 vorauszusetzen)
77) Beweisen Sie (ohne Umweg über die Exponentialfkt), dass gilt:
78) Im Unterricht steht die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an. Angenommen, die Eulersche Zahl e ist bis dahin noch nicht vorgekommen. Wie kann sie nun eingeführt werden?
???
79) Im Unterricht steht die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an. Die eulersche Zahl e ist den Schülerinnen bereits als Grenzwert bekannt. Wie kann nun vorgegangen werden?
s. 78!!
80) Beweisen Sie die Formel für die Ableitungen der Funktionen f(x)= ax (für a >0)
Dass f(x)=ex seine eigene Ableitungsfunktion ist, dürfen Sie als bekannt voraussetzen.
