Signale und Systeme 1

Vorlesung an der TU Wien

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M. S.

Lernen

M. S.

Über diese Lernkartei

Diese Lernkarten behandeln grundlegende Konzepte der Signal- und Systemtheorie auf universitärem Niveau. Sie decken Themen wie die Definition und Berechnung von Signalen, ihre Darstellung in verschiedenen Formen, sowie die Eigenschaften und Stabilität von Systemen ab. Besonders betont werden die Zerlegung von Signalen in gerade und ungerade Anteile, die Eigenschaften komplexer Signale und die Analyse von Systemen wie kausalen, zeitinvarianten und linearen Systemen. Diese Karteikarten sind ideal für Studierende der Elektrotechnik, die ein tiefes Verständnis der Signalverarbeitung und Systemanalyse entwickeln möchten.

Karten

Lernende

Sprache

Deutsch

Kategorie

Elektrotechnik

Stufe

Universität

Erstellt / Aktualisiert

14.11.2017 / 30.10.2023

Ähnliche Karteien

Ein Signal heißt rechtsseitig, wenn

das Signal im negativen Unendlichen beginnt und bis zu einem endlichen Zeitpunkt andauert: x(t) = 0 für t > t_0

das Signal zu einem endlichen Zeitpunkt beginnt und bis ins positive Unendliche andauert: x(t) = 0 für t < 0

das Signal im negativen Unendlichen beginnt und bis zu einem endlichen Zeitpunkt andauert: x(t) = 0 für t > t_0

das Signal zu einem endlichen Zeitpunkt beginnt und bis ins positive Unendliche andauert: x(t) = 0 für t < 0

Ein Signal heißt kausal, wenn gilt:

\(x(t) = 0 \ \ \ für \ \ \ t <0\)

Ein Signal heißt antikausal, wenn gilt:

\(x(t) = 0 \ \ \ für \ \ \ t > 0\)

Ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt, bezeichnet man das Signal als ...

nichtkausal

stabil

linear

nichtkausal

stabil

linear

Kausale Signale - Beziehung zwischen geradem und ungeradem Anteil

x_g(t) = x_u(t) * sgn(t)

x_g(t) = x_u(t) - sgn(t)

x_g*(t) = x_u*(t) * sgn(t)

x_u*(t) = x_g(t) / sgn(t)

x_g(t) = x_u(t) * sgn(t)

x_g(t) = x_u(t) - sgn(t)

x_g*(t) = x_u*(t) * sgn(t)

x_u*(t) = x_g(t) / sgn(t)

Ein Signal heißt (wert) beschränkt, wenn gilt:

\(|x(t)| < M_x < \infty\)

Was ist ein kontinuierliches System?

Ein (zeit-) kontinuierliches System ist eine Abbildung \(\mathcal{H}\), die einem zeitkontinuierlichem Eingangssignal ein zeitkontiniuerliches Ausgangssignal zuordnet: \(y(t) = \mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace\).

Definition - Lineares System (Superpositionsprinzip)

\(\mathcal{H} \lbrace a_1x_1(t) + a_2x_2(t) \rbrace = a_1 \mathcal{H} \lbrace x_1(t)\rbrace + a_2 \mathcal{H} \lbrace x_2(t) \rbrace \ \ \ , \ \ \ a_1, a_2 \in \mathbb{R(C)}\)

Definition - Zeitinvariantes System:

\(y(t-t_0) = \mathcal{H} \lbrace x(t-t_0) \rbrace\)

Was bedeutet LTI - System?

Linear Time Invariant System

Ein System, das sowohl linear als auch zeitinvariant ist.

Definition - Kausales System

Hängt das Augangssignal zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_0\) nur von dem Verlauf des Eingangssignals bis einschließlich zu diesem Zeitpunkt ab, so bezeichnet man das System als kausal: \(y(t_0) = \mathcal{H} \lbrace x(t \le t_0) \rbrace\)

Definition - BIBO - Stabilität

Bounded Input - Bounded Output

Reagiert ein System auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem beschränkten Ausgangssignal, bezeichnet man das System als stabil:

\(|x(t)| < \infty \ \ \ \Rightarrow \ \ \ | \mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace| < \infty\)

Definition - Sprungfunktion \(\varepsilon (t)\)

\(\varepsilon(t) =\begin{cases} 1, \ \ \ t>0\\0, \ \ \ t<0 \end{cases} \)

Weitere Bezeichnungen: \(\sigma(t)\) oder \(\sigma_{-1}(t)\).

Für \(t=0\) ist die Sprungfunktion nicht definiert. Man wählt hier den Wert 0,5.

Definition - Rampenfunktion (= linear gewichtete Sprungfunktion)

\(\rho(t) = t \cdot\varepsilon(t)\)

bzw.

\(\rho_T(t)=\rho(\frac{t}{T})=\frac{t}{T}\cdot\varepsilon(t)\)

Definition - Signumfunktion

\(sgn(t) = \begin{cases}1, & t>0 \\ -1, & t <0\end{cases}\)

Signumfunktion an der Stelle \(t=0\) ?

Nicht definiert

wahlweise: 0

wahlweise 1/2

Nicht definiert

wahlweise: 0

wahlweise 1/2

Definition - Rechteckfunktion

\(rect_T(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \frac{T}{2} \\ 0, & |t| > \frac{T}{2} \end{cases}\)

Definition - Dreieckfunktion

\(\Lambda_T(t) = \begin{cases} 1-|\frac{t}{T}| , & |t|< T \\ 0, & |t| \ge T \end{cases}\)

asdf

Zeitliche Verschiebung: \(x(t-t_0)\)

nach links (Voreilung) für t_0 < 0

nach rechts (Verzögerung) für t_0 < 0

nach links (Voreilung) für t_0 > 0

nach rechts (Verzögerung) für t_0 > 0

Tastatur-Befehle:

= drehen,

= vor-/rückwärts,

= scrollen

nach links (Voreilung) für t_0 < 0

nach rechts (Verzögerung) für t_0 < 0

nach links (Voreilung) für t_0 > 0

nach rechts (Verzögerung) für t_0 > 0

Komplexe Signale - Darstellung mittels Real- und Imaginärteil

Tastatur-Befehle:

= drehen,

= vor-/rückwärts,

= scrollen

\(x(t)\ \ = \ \ x_R(t) + jx_I(t) \ \ = \ \ \Re \lbrace x(t)\rbrace + j\Im\lbrace x(t)\rbrace\)

Komplexe Signale - Berechnung Realteil

Tastatur-Befehle:

= drehen,

= vor-/rückwärts,

= scrollen

\(x_R(t) = \frac{1}{2} [x(t) + x^*(t)]\)

Komplexe Signale - Berechnung Imaginärteil

Tastatur-Befehle:

= drehen,

= vor-/rückwärts,

= scrollen

\(x_I(t) = \frac{1}{2j} [x(t) - x^*(t)]\)

Komplexe Signale - Darstellung mittels Polarform (Betrag und Phase)

Tastatur-Befehle:

= drehen,

= vor-/rückwärts,

= scrollen

\(x(t) = |x(t)| \cdot e^{j\angle x(t)}\)

Berechnung - Geraden Anteil eines Signals

Tastatur-Befehle:

= drehen,

= vor-/rückwärts,

= scrollen

\(x_g(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]\)

Berechnung - Ungerader Anteil eines Signals

\(x_u(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\)

Korrekte Zerlegung eines Signals in geraden und ungeraden Anteil:

x(t) = x_g(t) + x_u(t)

x(t) = x_g(t) - x_u(t)

x(t) = x_g(t) + x_u(t)

x(t) = x_g(t) - x_u(t)

\(\int\limits_{-T}^T x_u(t) \, \mathrm{d}t = \ ?\)

Komplexe Signale

Ein Signal heißt konjugiert gerade, wenn gilt:

x(t) = x*(-t)

x(t) = -x*(-t)

x(-t) = x*(t)

x(t) = x*(-t)

x(t) = -x*(-t)

x(-t) = x*(t)

Komplexe Signale

Ein Signal heißt konjugiert ungerade, wenn gilt:

x(t) = -x*(-t)

x(t) = x*(-t)

-x(t) = x*(-t)

x(t) = -x*(-t)

x(t) = x*(-t)

-x(t) = x*(-t)

Korrekte Zerlegung eines komplexen Signals in geraden und ungeraden Anteil:

x(t) = x_g*(t) + x_u*(t)

x(t) = x_g*(t) - x_u*(t)

x(t) = x_g*(t) + x_u*(t)

x(t) = x_g*(t) - x_u*(t)

Berechnung - Konjugiert gerader Anteil eines komplexen Signals

\(x_{g^*}(t) = \frac{1}{2}[x(t)+x^*(-t)]\)

Berechnung - Konjugiert ungerader Anteil eines komplexen Signals:

\(x_{g^*}(t) = \frac{1}{2}[x(t)-x^*(-t)]\)

Realteil von \(x_{g^*}(t)\) ist :

gerade

ungerade

gerade

ungerade

Imaginärteil von \(x_{g^*}(t)\) ist:

gerade

ungerade

gerade

ungerade

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Lernkarten

Definition - Rampenfunktion (= linear gewichtete Sprungfunktion)

\(\rho(t) = t \cdot\varepsilon(t)\)

bzw.

\(\rho_T(t)=\rho(\frac{t}{T})=\frac{t}{T}\cdot\varepsilon(t)\)

Beispiele für die Verwendung der Sprungfunktion in der Regelungstechnik:

Testsignal

Um nichtkausale Anteile von Signalen auszublenden --> x(t) = e^(-at) * epsilon(t)

Skalierung der Zeit

Spiegelung

gerade Signale in ungerade wandeln

Definition - Signumfunktion

\(sgn(t) = \begin{cases}1, & t>0 \\ -1, & t <0\end{cases}\)

Signumfunktion an der Stelle \(t=0\) ?

Nicht definiert

wahlweise: 0

wahlweise 1/2

Definition - Rechteckfunktion

\(rect_T(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \frac{T}{2} \\ 0, & |t| > \frac{T}{2} \end{cases}\)

Definition - Dreieckfunktion

\(\Lambda_T(t) = \begin{cases} 1-|\frac{t}{T}| , & |t|< T \\ 0, & |t| \ge T \end{cases}\)

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