Automatisierungstechnik 2017
Hat viel mit linearer Algebra zu tun...
Hat viel mit linearer Algebra zu tun...
Zustandsgrößen finden für Systeme
Integrale bieten sich für eine Zustandsgröße an, da deren Ableitung schon im Integral steckt.
Die Ausgangsgröße versteckt sich ab und zu in einer der Gleichungen.
Beim Linearisieren müssen dann alle Funktionen nach allen Variablen abgeleitet werden und die Ruhelage eingesetzt werden.
Satz von Caley-Hamilton
wenn ein Polynom wenig (im idealfall 2) Terme besitzt, kann durch diesen Satz eine Vereinfachung der Berechnung von höheren Potenzen der Transitionsmatrix erreicht werden.
Berechnen von Termen der Form:
\((1+xq)(1+yq)\)
\(= 1+(x+y)q + (xy)q^2\)
Zusammenfassen von Übertragungsfunktionsblöcken
x ---|A|---|B|---y
\(y = BAx\)
Zusammenhang der Laplace-Transformation mit der Transitionsmatrix
\((sE-A)^{-1}= \mathcal{L}(\Phi)\)
Zustands-regler/-beobachter Entwurf
\(det(zE-\Phi_{ges}) = \\ =det(zE-(\Phi + \Gamma k^T))\cdot det(zE-(\Phi + \hat{k}c^T))\)
Die Übertragungsfunktion ergibt sich wie beim normalen Zustandsregler. Da der Beobachtungsfehler durch den Eingang nicht beeinflusst werden bleibt die Ordnung n.
\(R(z) = c^T(zE-(\Phi + \Gamma k^T))^{-1}\Gamma g \)
(die R(z) Formel gehört zu einem System ohne Durchgriff)
Koeffizienten von Polynomen der Form
\((a+b)^4\) berechnet
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
\(1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit einzelner Zustandsvariablen
Für die Erreichbarkeit sieht man sich b und A an und überprüft, ob jede Zustandsvariable verändert werden kann
(Über Eingang bzw andere erreichbare Zustände)
Für die Beobachtbarkeit überprüft man ob die Zustandsvariablen über c und A am Ausgang angezeigt werden können.
Dead-Beat-Regler
Zustandsregelung bei der die Eigenwerte auf 0 gelegt werden. Um das System in maximal n Schritten auf 0 zu überführen.
Wenn konjungiert komplexe Polstelle bei Eigenvektor-Berechnung
\(V = \begin{bmatrix} Re\{v_1\} & Im\{ v_1\} \end{bmatrix}\)
Um nicht mit grauslichen i's rechnen zu müssen, berechnet man sich den ersten Eigenvektor \(\alpha + i\beta\) und spaltet dann wie oben gezeigt auf.
Generelle Formel für \(x(t)\) mit Transitionsmatrix
\(x(t) = \Phi(t)x_0 + \int_0^\infty \Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\)
(Das Integral geht nur von 0 bis t)
Wann ist der Grenzwertsatz anwendbar?
Wenn BIBO-stabil
--> Pole in linker Halbebene
--> Impulsantwort absolut Integrabel (bzw Summe von Werten < unendlich)
Minimalrealisierung
Auf Standardform bringen
Tustin Transformation
\(z = \frac{1+\frac{T_a}{2}q}{1-\frac{T_a}{2}q} \\ q= \frac{2}{T_a}\frac{z-1}{z+1} \\ \Omega = \frac{2}{T_a}\)
Wozu Hankelmatrix
Um Beobachtbarkeit und Erreichbarkeit zu überprüfen.
Determinante muss ungleich 0 sein.
Nur anwendbar wenn G(s) nicht sprungfähig.
\(H = \begin{bmatrix} g_1 & g_2 & g_3 \\ g_2 & g_3 & g_4 \\ g_3 & g_4 & g_5 \end{bmatrix}\)
Wie man Verstärkung Dämpfung und Zeitkonstante von Übertragungsfunktion bestimmt.
Auf folgende Form bringen:
wichtig ist, dass die Konstante "+1" ist. (wenn nicht, dementsprechend multiplizieren)
\(G(s) = \frac{V}{1+2\xi s + (sT)^2}\)
Es fehlt unten beim mittleren Term die Zeitkonstante T
Graphische Methode um Zeitkonstante bzw Dämpfung von Polstellen zu verändern.
Im Pol-Nullstellen Diagramm haben Stellen mit gleichem Radius zum Ursprung auch dieselbe Zeitkonstante.
Je weiter vom Ursprung entfernt desto kleiner die Zeitkonstante
Das Verhältnis von Radius zu Zeitkonstante ist ein indirektes.
Im Pol-Nullstellen Diagramm haben Stellen die auf einer Geraden mit dem Ursprung liegen dieselbe Dämpfung.
Je größer der Winkel zur reelen Achse, desto kleiner die Dämpfung.
Das Verhältnis von Winkel zu Dämpfung ist ein indirektes.
Konsistente Systemeigenschaften
Stabilität bleibt erhalten.
Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit können verloren gehen bei ungünstiger Wahl der Abtastzeit.
Vorraussetzungen für das beliebige Platzieren der Eigenwerte im geschlossenen Kreis
Das System muss vollständig Erreichbar sein.
Bedingung für die Wahl der Abtastzeit \(T_a\)
Wenn größer wird Nyquist verletzt.
\(T_a < \frac{\pi}{\omega_{j,max}}\)
Hier geht es um den imaginär Teil der Eigenwerte der Dynamik Matrix A
Dynamikmatrix \(\tilde{A} \) aus \(A\) berechnen
\(\tilde{A} = V^{-1}AV\)
mit
\(V = [v_1 ,v_2, v_3]\)
Zustandstransformation \(x(t) = Vz(t)\)
\(\dot{z} = V^{-1}AV + V^{-1}Bu\)
\(y = CVz + Du\)
Globale asymptotische Stabilität
\(\lim\limits_{t \rightarrow \infty}{x(t)} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty}{\Phi(t)x_0} = 0\)
Das gilt genau dann für alle Anfangswerte \(x_0\) wenn wenn alle Eigenwerte der Matrix \(A\) einen negativen Realteil besitzen.
Man sagt auch die Ruhelage \(x_R = 0\) ist global asymptotisch stabil
Für den diskreten Bereich gilt, dass alle Pole im Einheitskreis liegen müssen.
Übertragungsfunktion eines Eingrößensystems
\(G(s) = \frac{z(s)}{n(s)}=c^T(sE-A)^{-1}b+d \)
\(= \frac{c^T \cdot adj(sE-A)b+d\cdot det(sE-A)}{det(sE-A)}\)
Was sind die Schritte um von der Übertragungsfunktion G(s)
auf eine der Standardformen zu kommen?
- Zähler und Nenner ausmultiplizieren.
- Nenner monisch machen
(dabei ändert sich auch Zähler!) - \(b_n\)vermerken
- \(\tilde{b}_i=b_i-a_ib_n\)
- laut Formelsammlung in Matritzen eintragen
Phasenminimalität
- Ein System ist phasenminimal wenn alle Pole und Nullstellen in der linken Halbebene liegen.
- Instabile Systeme sind nicht phasenminimal
Sprungfähigkeit
Systeme mit Durchgriff (Zählergrad entspricht Nennergrad) sind sprungfähig.
Reagieren mit einen Sprung auf einen Sprung
\(\lim\limits_{s \rightarrow \infty}{G(s)} = 0 \\ \lim\limits_{z \rightarrow \infty}{G(z)} = 0 \\ \lim\limits_{q \rightarrow \frac{2}{T_a}}{G^\#(q)} = 0\)
Rückkopplung mit negativen Vorzeichen
\(G(s) = \frac{Vorwärtszweig}{1+Vorwärtszweig \cdot Rückkoppelzweig}\)
Übertragungsmatrix \(G(s)\) im Mehrgrößenfall
\(G(s) = C (sE-A)^{-1}B + D = C \hat{\phi}(s)B+D\)
BIBO-Stabilität
Ein lineares System ist BIBO-stabil, wenn die Impulsantwort g(t) absolut integrabel ist,
oder die Übertragungsfunktion G(s) alle Pole in der linken s-Halbebene hat.
Beziehungsweise alle Pole von G(z) innerhalb der Einheitskreises liegen.
Erreichbarkeit eines Systems
Wann ist ein System Erreichbar?
Ein System ist genau dann vollständig erreichbar, wenn die Erreichbarkeitsmatrix den Rang n hat
(Die Dynamikmatrix A ist nxn)
bzw wenn die Determinante ungleich 0 ist
\(det(\mathcal{R}(A,B)) \neq 0\)
\(\displaystyle \mathcal{R}(A,B) = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B& ... \end{bmatrix}\)
wenn ein System erreichbar ist gilt auch für alle Linkseigenvektoren:
\(w_i^Tb \neq 0\)
Beobachtbarkeit eines Systems
Wann ist ein System beobachtbar?
Der Rang der Beobachtbarkeitsmatrix muss n sein.
bzw die Determinante ungleich 0
\(det(\mathcal{O}(C,A)) \neq 0\)
\(\displaystyle \mathcal{O}(C,A) = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ CA^3\\ ... \end{bmatrix}\)
außerdem gilt für beobachtbare Syteme für alle (Rechts-)Eigenvektoren:
\(c^Tv_i \neq 0\)
Wie berechnet man den eingeschwungenen Zustand eines mit u(t) angeregten Systems G(s)?
mit \(u(t) = sin(\omega_ut) = cos(\omega_ut-\frac{\pi}{2})\)
Man berechnet
\(y_{st} = Re\{|G(j\omega_u )| \cdot e^{-j\omega_u t}\} =\\ = |G(j\omega_u )| \cdot cos(\omega_ut- \frac{\pi}{2}-arg(G(j\omega_u))\)
(\(-\frac{\pi}{2}\) nur wenn die Eingangsschwingung als Sinus angegeben)
Terme mit negativen t im Exponenten verschwinden.
Was versteht man unter einem Zustandsregelgesetz
Man versteht darunter, dass die Eingangsgröße(n) in Abhängigkeit des Zustandes des Systems gesetzt werden.
\(u(t) = Kx(t) + Gr(t)\) bzw \(u_k = Kx_k+Gr_k\)
Betrag und Phasengang von einer Übertragungsfunktion der Form
\(\frac{1}{1+\theta\frac{s}{\omega_g}+\frac{s^2}{\omega_g^2}}\)
\(20log(\theta) = ü\)
Phasensprung von -180° über 2Dekaden
Betragsfrequenzgang -40db/Dekade ab Grenzfrequenz \(\omega_g\)
Trivialer Beobachter - Vollständiger Luenberger Beobachter
ist ähnlich zu dem Zustandsreglerentwurf. Hier werden die Zustände mithilfe der Aus/Eingänge geschätzt.
\(\hat{x}_{k+1} = \Phi\hat{x}_k + \Gamma u_k + \hat{k}(\hat{y_k}-y_k) \\\frac{d}{dt}\hat{x} =( A + kc^T )\hat{x} + B u + ky\) mit \(\hat{x}(0) = \hat{x}_0\)
\(\hat{y}_k= c^T\hat{x}_k + du_k\)
\(e_{k+1}= (\Phi + \hat{k}c^T)e_k\) mit\(e(0) = e_0 = \hat{x}_0 - x_0\)
Dimensionierung von geschlossenem Kreis
Durchtrittsfrequenz \(\omega_c= 1.5/t_r\)
Phasenreserve \(\Phi = 70- ü \text{ (in %)}\)
solange die Phasenreserve positiv ist, ist der Regelkreis BIBO-stabil
\(\Phi_{Soll} = \Phi - 180°\)
Die einzelnen Berechnungen gehen vom offenen Kreis aus.
\(arg(L_1(j\omega_c)) = \Phi_{Ist}\\\Delta\Phi = \Phi_{Soll}-\Phi_{Ist} \\ arg(1+j\omega_cTi) = \Delta\Phi\\ |R(j\omega_c)| \cdot |G(j\omega_c) |= 1\)
Wobei \(L_1(s), G(s)\) mit allen nicht für die Dimensionierung benutzten Termen ist.
Bei der Berechnung von Argument und Betrag der Übertragungsfunktion, ist es einfacher jeden multiplikativen Term einzeln zu berechnen. Und die Summe der Teilargumente bzw das Produkt der einzenen Beträge zu berechnen.
Ruhelagen und Linearisierung von autonomen System berechnen
\(\dot{x} = 0\) setzen und \(x_R\) berechnen
\(\frac{df}{dx} = A_\Delta\)
wobei hierbei nach der Ableitung die Ruhelagen eingesetzt werden
es gilt nun \(x(t) = x_R + \Delta x(t)\)
Transitionsmatrix Beziehungen
\(\Phi(0) = E \\ \Phi (t+s) = \Phi(t) \cdot \Phi(s) \\ \Phi(t)^{-1} = \Phi(-t) \\ \frac{d}{dt}\Phi(t)= A\Phi(t)\)
bzw im Zeitdiskreten
\(\Psi(k+1) = A \Psi(t)\)
Hurwitz-Kriterium angewendet an Polynom der Form
\(s^na_n \cdot s^{n-1}a_{n-1}\cdot \dots\)
Unterdeterminanten müssen positiv sein
Angefangen mit \(a_{n-1}\) alle Koeffizienten getrennt in gerade/ungerade
in 2 Zeilen aufschreiben. Darunter um 1 nach rechts versetzt dieselben
2 Zeilen anfügen und dies wiederholen bis eine nxn Matrix entsteht.
desweiteren gilt für die letzte Unterdeterminante:
\(H_n = H_{n-1} * a_0\)
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Lernkarten
Minimalrealisierung
Auf Standardform bringen
Tustin Transformation
\(z = \frac{1+\frac{T_a}{2}q}{1-\frac{T_a}{2}q} \\ q= \frac{2}{T_a}\frac{z-1}{z+1} \\ \Omega = \frac{2}{T_a}\)
Wozu Hankelmatrix
Um Beobachtbarkeit und Erreichbarkeit zu überprüfen.
Determinante muss ungleich 0 sein.
Nur anwendbar wenn G(s) nicht sprungfähig.
\(H = \begin{bmatrix} g_1 & g_2 & g_3 \\ g_2 & g_3 & g_4 \\ g_3 & g_4 & g_5 \end{bmatrix}\)
Wie man Verstärkung Dämpfung und Zeitkonstante von Übertragungsfunktion bestimmt.
Auf folgende Form bringen:
wichtig ist, dass die Konstante "+1" ist. (wenn nicht, dementsprechend multiplizieren)
\(G(s) = \frac{V}{1+2\xi s + (sT)^2}\)
Es fehlt unten beim mittleren Term die Zeitkonstante T
Graphische Methode um Zeitkonstante bzw Dämpfung von Polstellen zu verändern.
Im Pol-Nullstellen Diagramm haben Stellen mit gleichem Radius zum Ursprung auch dieselbe Zeitkonstante.
Je weiter vom Ursprung entfernt desto kleiner die Zeitkonstante
Das Verhältnis von Radius zu Zeitkonstante ist ein indirektes.
Im Pol-Nullstellen Diagramm haben Stellen die auf einer Geraden mit dem Ursprung liegen dieselbe Dämpfung.
Je größer der Winkel zur reelen Achse, desto kleiner die Dämpfung.
Das Verhältnis von Winkel zu Dämpfung ist ein indirektes.
Konsistente Systemeigenschaften
Stabilität bleibt erhalten.
Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit können verloren gehen bei ungünstiger Wahl der Abtastzeit.
Vorraussetzungen für das beliebige Platzieren der Eigenwerte im geschlossenen Kreis
Das System muss vollständig Erreichbar sein.
Bedingung für die Wahl der Abtastzeit \(T_a\)
Wenn größer wird Nyquist verletzt.
\(T_a < \frac{\pi}{\omega_{j,max}}\)
Hier geht es um den imaginär Teil der Eigenwerte der Dynamik Matrix A
