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Def: (Windungszahl)
Sei \(\gamma\) eine geschlossene Kurve in \(\mathbb{C}\) und sei \(z_0 \in \mathbb{C}\) ein Punkt der nicht auf der Kurve liegt, dann ist die Windungszahl des Weges in Bezug auf den Punkt defniert durch:
\(n(\gamma,z_0) : = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{dz}{z-z_0}dz\)
Satz: (Cauchy - Integralformel)
Sei \(U \subset \mathbb{C}\) offen mit \(\overline{B(z_o,R)} \subset U\) die abgeschlossene Kugel. Sei f auf U komplex diffbar, dann gilt für ein a in der abgeschlossenen Kugel:
\(f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial B(z_o,R)} \frac{f(z)}{z-a}dz\)
Theorem: (Mittelwertsatz)
Betrachtet man als Kurve einen einfach positiv durchlaufenen Kreis mit Mittelpunkt \(z_0\) und Radius R, so erhält man den Mittelwertsatz:
\(f(z_0) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(z_0 + Re^{it})dt\)
Wobei die Kurve in einem einfach zusammenängenden Gebiert sein muss und f analytisch auf diesem Gebiet sein muss.
Theorem: (Eigenschaften von Analytischen Funktionen)
- Jede analytische Funktion ist beliebt oft differenzierbar
- jede analytische Funktion lässt sich lokal in einer Potenzreihe entwickeln
- Wenn f(z) auf einem Gebiert G holomorph ist und stetig auf dem Abschluss von G ist, dann nimmt f das Maximum am Rande an.
Theorem: (Satz von Liouville)
Wenn eine Funktion beschränkt und holomorph ist ist auf ganz C, dann ist Sie konstant.....
Theorem: (Komplexe Ableitung)
Ist eine Funktion f analytisch, so ist die komplexe Ableitung an der Stelle \(z_0\) gegeben durch:
\(f'(z_0) = \frac{\partial f(z_0)}{\partial x} + i \frac{\partial f(z_0)}{\partial x}\)
Def: (Homotopie)
Sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zaheln mit p,q in U. Seien \(\gamma_1, \gamma_2 : [0,1] \rightarrow U\) zwei C1-Kurven mit \(\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p \land \gamma_1(1) = \gamma_2(1) = q\). Eine C1-Homotopie in U zwischen \(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) ist eine C1-Funktion
\(\phi: [0,1] \times [0,1] \rightarrow U\)
so das für alle \(s,t \in [0,1]\) gilt:
\(\phi(s,0) = p \\\phi(s,1) = 1 \\\phi(0,t) = \gamma_1(t) \\\phi(1,t) = \gamma_2(t)\)
Theorem: (Potenzreihenentwicklungssatz)
Sei U von C eine offene Teilmenge und sei f komplex diffbar. Für ein z_0 in U gibt es genau eine Potenzreihe
mit positiven Konvergenzradius, die in einer Umgebunb von z_0 die Funktion f darstellt. D.h jede komplex diffbare Funktion ist lokal als Potenzreihe darstellbar....
Korollar: Für die Potenzreihenentwicklung einer analtytischen Funktion git:
\(a_k = \)
\(a_k = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial B(R,z_0)} \frac{f(z)}{(c-z_0)^{k+1}}dc\)
Korollar: (Cauchy - Abschätzung)
Sei \(|f(z)| \leq M\) für alle \(z \in \partial B(z_0,R)\), dann gilt:
\(|a_k| \leq \frac{M}{R^k}\)
Def: (Laurent-Reihe)
\(\sum_{n = - \infty}^\infty a_n (z-z_0)^n = \sum_{n = 0}^\infty a_n (z-z_0)^n + \sum_{n = 1}^\infty a_{-n} (z-z_0)^{-n}\)
Korollar: Auf welchem Gebiert konvergiert die Laurentreihe ?
Die Laurentreihe konvergiert auf dem Kreisring um z_0.
Theorem: (Laurentreihenentwicklungssatz)
Sei U eine offene Teilmenge mit \(\overline{B(z_0,R_1,R_2)}\) in U und sei f auf U eine analytische Funktion. Dann hat f eine Laurentreihenentwicklung auf \(B(z_0,R_1,R_2)\) und diese Laurentreihenentwicklung ist eindeutig!!!
Def: (Isolierte Singularität)
Sei U als Teilmenge von C offen mit \(z_0 \in U\) und sei \(f: U \backslash \{z_0\} \rightarrow \mathbb{C}\) eine analytische Funktion. Wir sagen, dass \(z_0\) eine isolierte Singularität ist.
Def:(Hebbare Singulrität)
Wenn \(a_{-n} = 0, \quad \forall n\in \mathbb{N}\) also H(z) = 0 d.h
\(H(z) = \sum_{n = -k}^{-1}a_n (z - z_0)^n = 0\) für \(z \in B_{\epsilon}(z_0) \backslash \{z_0\}\) so nennt man \(z_0 \) eine hebbare Singularität, da wir die Definitinslücke durch f(z_0) = a_0 schliessen kann.
Def: (Pol der Ordnung k)
Exisitert ein k grösser null mit \(a_{-k} \neq 0 \quad \) und für alle l <-k gilt: \(a_l = 0\) so nennen wir z_0 einen Pol der Ordnung k von f. Also wenn für den Hauptteil gilt:
\(H(z) =\sum_{n = -k}^{-1} a_n (z-z_0)^n\)
Def: (Wesentliche Singularität)
Wenn \(a_{-n} \neq 0\) für unendliche viele n in N ist, wenn also der Haupteil nicht durch eine endliche Summe darstellbar ist.
Def: (Residuum von f in z_0)
Das Residuum von f in der isolierten Singularität \(z_0\) ist defniert durch:
\(Res_{z_0}(f) = a_{-1}\)
für eine hebbare Singularität gilt: \(Res_{z_0}(f) = 0\)
für alle isolierten Singularitäten gilt:
\(Res_{z_0}(f) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial_{z_0}B(\delta)}f(t)dt\)
Thoerem: (Riemann Hebbarkeitssatz)
Es sei G ⊆ C ein Gebiet und z 0 ∈ G , weiter sei f : G ∖ { z 0 } → C eine holomorphe Funktion.
Existiert eine Umgebung U von z 0 in G , sodass f auf U ∖ { z 0 } } beschränkt ist, dann gibt es eine auf ganz G holomorphe Funktion f ~ mit f ~ | G ∖ { z 0 } = f .
Thoerem: (Residuensatz)
Sei U eine einfach zusammenhängede offen Teilmene von C, und sei \(f: U \backslash \{z_i : 0 \leq i \leq N\}\rightarrow \mathbb{C}\) anayltisch und sei \(\gamma\) ein geschlossener Weg in U. Dann gilt:
\(\int_\gamma f(t) dz = 2 \pi i \sum_{i = 1}^N Res_{z_i}(f)\)
Def: (komplexe Differenzierbarkeit)
Sei \(U \subset \mathbb{C}\) offen und z in U. Eine Funktion f von U nach C heisst komplex diffbar in z_0 fwenn der folgende Grenzwert existiert:
\(lim_{h \rightarrow0 } \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}h{}\)
als logische Formel also:
\(\forall \epsilon >0 \exists \delta <0 \forall z \in U \backslash\{ z \} : \quad |z -z_0| < \delta \Rightarrow |f'(z_0) - \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}|\)
Def: (analytische Funktion)
Eine Funktion \(f: U \rightarrow \mathbb{C}\) heisst analytisch, fall sie komplex differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist.
Thoerem: f ist genau dann analytisch, wenn die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind und u,v sind stetig differentierbar
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Def: (Cauchy-Riemann-Gleichungen)
\(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \land \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = -\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} \)
Def: (harmonische Funktion)
Eine Funkton heisst harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung erfüllt. d.h
\(\Delta f = 0\)
Theorem: u und v sind harmonische Funktonen
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Def: (konforme Abbildung)
Eine analytische Abbildung, welche Winkelerhaltend ist nennt man konform.
Theorem: Eine Funktion f ist genau dann konform, wenn sie analytisch ist und ihre Abbildung nie null ist. Für eine konforme Abbildung gilt:_______________
\(< Df(z_0) v , Df(z_0) w> = |f'(z_0)| < v,w >\)
Def: (Potenzreihe)
Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form:
\(f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^k\)
Theorem: Berechnung des Konvergenzradiuses
\(\frac{1}{R} = lim_{i \rightarrow \infty} \frac{|a_{i+1}|}{|a_i|}\)
oder
\(\frac{1}{R} = limsup_{i \rightarrow \infty} |a_i|^{\frac{1}{i}}\)
Satz: (von Abel)
f(z) ist konvergent für |z| < R
f(z) ist gleichmässig konvergent für |z| < p < R
f(z) ist nicht konvergent für |z| > R
Satz: Sei f(z) eine Potenzreihe mit einem Konvergenradius R > 0. Dann gilt:
f ist analytisch auf B(0,R)
die Ableitung der Potenzreihe hat denselben Konvergenzradius
Def: (Exponentialfunktion)
\(exp(z) := \sum_{k = 0}^\infty \frac{z^k}{k!}\)
ist analytisch und hat Konvergenzradius unendlich.
Def: (Sin(x))
\(sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz} ) = \frac{1}{i}\sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\)
Def: (Cos(x))
\(cos(x) = \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n!}z^{2n}\)
Theorem: (Cauchy-Produkt)
Seien \(\sum_{k = 0}^\infty a_k z^k\) und \(\sum_{l = 0}^\infty b_l z^l\) zwei absolut konvergente Potenzreihen. Dann gilt für die Multiplikation:
(\(\sum_{k = 0}^\infty a_k z^k\))*(\(\sum_{l = 0}^\infty b_l z^l\)) = \(\sum_{k = 0}^\infty (\sum_{l = 0}^l a_l b_{n-l}) z^k\)
Def: (Kurvenintegral)
Sei f eine stetige Funktoin und y eine C1-Kurve. Dann ist das Integral von f über y definiert durch:
\(\int_y f(z) dz := \int_a^bf(y(t))\dot{y(t)}dt\)
Dieses Integral ist von der parametrisierung unabhängig
Def: (Länge einer Kurve)
Die Länge einer C1 - Kurve ist defniert durch:
\(l(y) = \int_a^b |\dot{y(t)}|dt\)
Satz: Das Kurvebubtegrak pber \(f = z^n\) entlang des Kreises \(y_r\) ist gegeben durch:
\(\int_{y_r} z^ndz = \cases{0,n \neq -1 \\2 \pi i,n = -1}\)
Abschätzung : (für Kurvenintegrale)
\(|\int_yf(z)dz| \leq sup[|f(y(t)|)] \cdot l(y),t \in (a,b)\)
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Lernkarten
Thoerem: (Residuensatz)
Sei U eine einfach zusammenhängede offen Teilmene von C, und sei \(f: U \backslash \{z_i : 0 \leq i \leq N\}\rightarrow \mathbb{C}\) anayltisch und sei \(\gamma\) ein geschlossener Weg in U. Dann gilt:
\(\int_\gamma f(t) dz = 2 \pi i \sum_{i = 1}^N Res_{z_i}(f)\)
