Stochastik

.

.

.

.

.

.

\(\textit{Gegeben seien zwei reellwertige Zufallsvariablen X,Y und zwei reelle Zahlen a,b, dann gelten folgende Rechenregeln:}\\E(aX + b) = aE(X) + b\quad und \quad E(X + Y) = E(X) + E(Y)\\Var (X) = E(X^2) - (E(X))^2 \quad und \quad Var(aX + b) = a^2 Var(X)\\\\\textit{Sind X und Y unabhängig, dann gilt:}\\E(XY) = E(X)E(Y) \quad und \quad Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y)\).\(\textit{Sind Summe und Integral endlich, dann heißt } \;Var(X) = E((X - E(X))^2)\\ \textit{die Varianz von X und $\sigma$(X) = $\sqrt{Var(X)}$ die Standardabweichung von X}\)

\(\textit{ * Der Binomialtest: Zur Untersuchung einer Stichprobenfolge, die zum Parameter $\theta$ Bernoulli verteilt ist.} \\\textit{* Der Gauß-Test: Zur Untersuchung einer Stichprobenfolge, die zu den Parameten $\mu$ und $\sigma^2$ normalverteilt ist. }\\\textit{*Der Chi-Quadrat-Anpassungstest: Zur Untersuchung eines Stichprobenraums mit r Elementen, dessen Abfolge unanbhängig und folgendermaßen} \\ \quad \textit{ verteilt ist: }P_p([X_k = z_i]) = p_i\\\textit{* Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Zur Untersuchung einer Stichprobenfolge ($X_1,Y_1),(X_2,Y_2),...$ die unabhängig gemäß M verteilt ist.}\\ \quad \textit{Außerdem sei $M_0$ jene Menge von Verteilungen M auf Z, so dass $X_1$ und $Y_1$ unter $P_M$ unabhängig sind}\\\textit{* Der t-Test: Abwandlung des Gauß-Test }\)

Die Nullhypothese kann verworfen werden, da der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau ist.

\(\textit{Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit dafür, etwas zu beobachten, falls $H_0$ gilt, das $H_A$ mindestens}\\\textit{so stark unterstützt wie die Beobachtung ($x_1,...,x_n)$.}\\\textit{Testentscheid mithilfe des p-Wertes:}\\* \textit{Ist der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau $\alpha$, dann wird $H_0$ vom Test $phi_\alpha$ verworfen}\\\quad phi_\alpha (x_1,...,x_n) = 1\\* \textit{Ist der p-Wert größer als das Signifikanzniveau $\alpha$, dann wird $H_0$ vom Test $phi_\alpha$ nicht verworfen}\\\quad phi_\alpha (x_1,...,x_n) = 0\).

\(\textit{Es sei phi: $Z^n$ $\rightarrow$ {0,1} ein Test zu den Hypothesen} H_0 : \theta = \theta_0 \; gegen \; H_A : \theta \neq \theta_0\\ \textit{Wir sagen, dass phi ein Test zum Signifikanznievau $\alpha$ $\in$ [0,1] ist, falls die Wahrscheinlichkeit}\\ \textit{des Fehlers 1. Art kleiner oder gleich $\alpha$ ist, also} \\P_{\theta_0} ([ phi (X_1, ..., X_n) = 1 ]) \leq \alpha\).

Ein statistischer Test dient in der Testtheorie dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen.

Da die vorhandenen Daten Realisationen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese stimmt oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren, was einem Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau entspricht. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Hypothesentest oder einem Signifikanztest.

H₀ liegt nicht vor.

H₀ wird aber vom Test nicht verworfen, so spricht man von einem Fehler 2.Art.

Es liegt H_{0 vor.}

H₀ wird aber vom Test verworfen, so spricht man von einem Fehler 1. Art.

\(\textit{Es sei T ein Schätzer für g($\theta$) bei Stichprobenumnfang n und $T_1, T_2, T_3, ...$ eine Folge von Schätzern}\\ \textit{für g($\theta$) bei Stichprobenumnfang 1,2,3,...}\\T_1, T_2,... heißt \; konsistent, \; wenn\\lim_{n \rightarrow \infty} P_\theta ([ \vert T_n (X_1, ..., X_n) - g(\theta) \vert \geq \epsilon \vert ) = 0 \quad für \; alle \;\epsilon > 0 \; und \; alle \; \theta \in \Theta \; gilt.\).

\(\textit{Es sei T ein Schätzer für g($\theta$) bei Stichprobenumnfang n und $T_1, T_2, T_3, ...$ eine Folge von Schätzern}\\\textit{für g($\theta$) bei Stichprobenumnfang 1,2,3,...}\\\textit{T heißt erwartungstreu, wenn } E_\theta(T(X_1, ..., X_n)) = g(\theta)\; für \; alle \; \theta \in \Theta \; gilt.\).

\(\textit{Für eine Beobachtung x = ($x_1, ..., x_n$) heißt}\\\theta \mapsto L(\theta ; x) = f_\theta (x_1) ... f_\theta (x_n) \; die \; Likelihood-Funktion.\).

.

\(\textit{Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass eine Summe von sehr vielen unabhängigen identisch verteilten} \\ \textit{ Zufallsvariablen mit endlicher Varianz approximativ normalverteilt ist.}\\\textit{Es sei $X_1,X_2,...$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteiten Zufallsvariablen mit endlichem} \\ \textit{ Erwartungswert $\mu$ = E($X_1$) und endlicher Varianz $\sigma^2$ = Var($X_1$). Dann konvergiert}\\\frac{X_1 + ... + X_n - E(X_1 + ... + X_n)}{\sqrt{Var(X_1 + .. + X_n)}} = \frac{X_1 + .. + X_n - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\\\textit{in Verteilung gegen die Verteilungsfunktion $F_{N(0,1)}$ der Standardnormalverteilung, also gilt für alle t $\in \mathbb{R}$}\\P([ \frac{X_1 + .. + X_n - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\leq t ]) \rightarrow F_{N(0,1)}(t) \quad mit \; n \rightarrow \infty\).

Als Gesetze der großen Zahlen, abgekürzt GGZ, werden bestimmte Grenzwertsätze der Stochastikbezeichnet.

In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel um die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses stabilisiert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Voraussetzungen durchgeführt wird

Formal handelt es sich um Aussagen über die Konvergenz des arithmetischen Mittels von Zufallsvariablen, zumeist unterteilt in „starke“ (fast sichere Konvergenz) und „schwache“ (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit) Gesetze der großen Zahlen

\(\textit{Es sei ( $\Omega, \mathcal{F}, P$) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Folge $X_1, X_2$,... von reellwertigen Zufallsvariablen}\\* \textit{konvergiert fast sicher gegen eine rellwertige Zufallsvariable X, wenn}\\\quad X_n(\omega) \rightarrow X(\omega) \quad (n \rightarrow \infty) \quad \textit{für alle $\omega$ aus einem Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt.}\\\\*\textit{konvergiert stochastisch gegen eine rellwertige Zufallsvariable X, wenn für alle $\epsilon$ > 0 gilt:}\\\quad P([ \vert X_n - X \vert \geq \epsilon ]) \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) \\* \textit{konvergiert in Verteilung gegen eine Verteilungsfunktion F auf $\mathbb{R}$, wenn}\\\quad F_{X_n}(t) \rightarrow F(t) \quad (n \rightarrow \infty)\\\quad \textit{für alle t $\in \mathbb{R}$, an denen F stetig ist gilt.}\).

\(\textit{Die Ungleichung gibt eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable eine vorgegebene reelle Zahl überschreitet.}\\\textit{Seo X eine reellwertige Zufallsvariable, a $\geq$ 0, h : [0,$\infty$) $\rightarrow$ [0, $\infty$) monoton wachsend und tetig und h(x) = x, dann folgt die Markov Ungleichung}\\aP([ \vert X \vert \geq a]) \geq E( \vert X \vert)\).

.

.\(\textit{Sind Summe und Integral endlich, dann heißt } \;Var(X) = E((X - E(X))^2)\\\textit{die Varianz von X und $\sigma$(X) = $\sqrt{Var(X)}$ die Standardabweichung von X}\)

\(\textit{reelwertige Zufallsvariable X mit:}\\* \textit{diskreter Verteilung und Werten in Z $\subseteq$ $\mathbb{R}$ durch}\\\quad E(X) = \sum_{x \in Z} \;x f_X (x)\\\quad \textit{wobei $f_X$(x) = P ([X = x]) die Zähldichte von X bezeichnet.}\\\\* \textit{absolut stetiger Verteilung und Dichte $f_X$ durch}\\\quad E(X) = \int_\mathbb{R}\; x f_X (x)\; dx\).

\(\textit{Zwei Zufallsvariablen } X : (\Omega, F) \rightarrow (Z_1, \mathcal{Z}_1) und\; Y : (\Omega, F) \rightarrow (Z_2, \mathcal{Z}_2) \textit{ sind genau dann unabhängig, wenn }\\P([X \in B_1, Y \in B_2]) = P([X \in B_1]) \cdot P([Y \in B_2]) \; \textit{ für alle $B_1$ $\in \mathcal{Z}_1$ und $B_1$ $\in \mathcal{Z}_1$ gilt.}\)

\(\textit{Zwei Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn P(A $\cap$ B) = P(A) $\cdot$ P(B) gilt.}\).

.\(\textit{$A_n$ sind endlich viele paarweise disjunkte Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum ($\Omega$, F, P).}\\\textit{Wenn P(B) > 0 ist, dann folgt die Formel von Bayes}\\P(A_i\vert B) = \frac{P(B \vert A_i) P(A_i)}{\sum_n P(B \vert A_n) P(A_n)}\)

\(F_X(t) = P([X \leq t]) = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq t\})\).

\(\textit{Die geometrische Verteilung zum Parameter p $\in$ (0,1] ist ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß}\\\textit{auf $\mathbb{N}$ mit der Zähldichte f: $\mathbb{N}$} \rightarrow [0,1]\\f(k) = (1 - p)^{k - 1}p\).

\(\textit{Die Binomialverteilung zu den Parametern n $\in$ $\mathbb{N}$ und p $\in$ [0,1] (Bin(n,p)) ist ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß}\\\textit{auf {0, ..., n} mit der Zähldichte f: {0,..., n} $\rightarrow$ [0,1]}\\f(k) = \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} p^k (1 - p)^{n - k}\).

\(Grundraum:\; \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\\Familie:\; F = P(\Omega)\\Wahrscheinlichkeitsmaß: P(\emptyset) = 0 \quad P(\Omega) = 1 \\\qquad \qquad P(\{1\}) = P(\{2\}) = .. = P(\{6\}) = \frac{1}{\vert \Omega \vert} = \frac{1}{6}\\\\P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})\)

\(\textit{Ist P ein Maß auf } (\Omega, F)\; mit\; P(\Omega) = 1, \textit{so heißt P ein Wahrscheinlichkeitsmaß.}\)

\(\emptyset \in F\\ A \in F \rightarrow \Omega \setminus A \in F \\Für A_1, A_2, ... \in F gilt: A_1 \cup A_2 \cup ... \in F\)