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\(R\subseteq P(\Omega) \) heißt
\(\sigma\text{-ring, wenn }R \text{ein Ring ist und für jede Folge }(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{von Mengen aus } R \text{ gilt, dass}\\\cup_{n\in N} A_n\in R.\)

Sei \((\Omega, \mathbf{A}, \mu)\text{ ein Maßraum und }A,B\in\mathbf{A}\text{ dann gilt}\\A\subseteq B \Rightarrow \mu(A)\leq\mu(B)\)

\(\text{ein Maßraum und }(E_n)\subseteq \mathbf{A}\text{ eine Mengenfolge }\\ (1) (\text{stetigkeit von unten}) \text{falls } (E_n) \text{ monoton wächst}\\\ \mu(\lim_{n\to\infty} E_n)= \lim_{n\to\infty} \mu(E_n)\\ (2) (\text{Stetigkeit von Oben})\text{ falls }( E_n) \text{monoton fällt und }\mu(E_1)<\infty\\ \mu(\lim_{n\to\infty} E_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(E_n)\\( 3)\text{es gilt}\\ \mu(\liminf_{n\to\infty} E_n)\leq \liminf_{n\to\infty}\mu(E_n)\\( 4)\text{falls endlicher Maßraum }\\ \mu(\limsup_{n\to\infty} E_n)\geq \limsup_{n\to\infty}\mu(E_n)\)

\(v:P(\Omega)\to \bar{\mathbb{R}}^+ \text{ ein äußeres Maß}\\\text{ Dann bildet die Famile } \mathbf{A}=\mathbf{A}_{|v} \text{ aller bezüglich}\\\text{ v messbaren Mengen eine }\sigma\text{-algebra}\\ \text{und die Einschränkung } v_{|\mathbf{A}_v}\text{ ein Maß}\)