23FS Banking and Finance II: Modul 3 - FE

Das Tobin'sche Separationstheorem besagt, dass die Risiko-Rendite-Präferenz eines einzelnen Investors durch die Aufteilung in sichere Anlagen und in ein effizient durchmischtes Aktienportfolio erreicht werden kann.

• Risikoavers
  • konkave Nutzenfunktion (das bedeutet, dass die zweite Ableitung der Nutzenfunkion negativ ist) -> U``(x) < 0
• Risikoneutral
  • lineare Nutzenfunktion -> U``(x) = 0
• Risikofreudig
  • konvexe Nutzenfunktion -> U``(x) > 0

• Vollständigkeit
• Stetigkeit
• Transitivität

Das Tangentialportfolio ist definiert als jenes Portfolio mit der maximalen Sharpe-Ratio. Es gibt eine Capital Allocation Line, die optimal ist, sprich die höchste Steigung hat. Um diese CAL zu finden, muss die Sharpe-Ratio maximiert werden.

\(SharpeRatio=\frac{E(r_p)-r_f}{\sigma_p}\)

Der Sharpe-Ratio beschreibt die Steigung der CAL und kann wie oben beschrieben berechnet werden. Dabei steht der Index P für Portfolio. Es ist darauf zu achten, dass im Nenner die Standardabweichung und nicht die Varianz verwendet wird.

Die CAL ist die Verbindungslinie einer "risikolosen" Anlage (häufig Staatsanleihe, z.B. Treasury Bill) zu einem einzelnen Asset.

Sie zeigt demnach alle möglichen Risiko-Rendite Kombinationen eines Portfolios, die sich aus dem Asset und der risikolosen Anlage ergeben.

Die Efficiency Frontier ist der Graph der, ausgehend vom Portfolio mit der kleinsten Varianz (Risiko), für jedes gegebene Varianzniveau, die Rendite (Erwartungswert) maximiert.

\(\sigma^2_{Portfolio}=w^2_A*\sigma^2_A+w^2_B*\sigma^2_B+2*\rho_{A,B}*w_A*w_B*\sigma_A*\sigma_B\)

Um auf die Portfoliostandardabweichung zu kommen muss man noch die Wurzel ziehen.

w bezeichnet dabei die Gewichtung, rho die Korrelation und sigma die Standardabweichung.

Die Korrelation ist ein Mass wie sich zwei Variabeln relativ zueinander Verhalten. Jedoch sagt sie nichts über das direkte Verhältnis dieser Bewegungen aus. Korrelationen sind untereinander vergleichbar.

\(\rho_{AB}=\frac{cov_{AB}}{\sigma_A*\sigma_B}\)

cov ist die Kovarianz zwischen A und B und σ die jeweilige Standardabweichung.

Die Korrelation kann Werte zwischen und inklusive [-1,+1] annehmen.

Die Portfoliorendite der Anlage wird als gewichtete Summe der Renditen (=r) der einzelnen Anlagen berechnet. Die Gewichte (=w) bilden die Anteile der einzelnen Anlagen (=i) am gesamten Portfolio.

\(RenditePortfolio=\sum^I_{i=1}w_i*r_i\)

Wenn man also ein gleichgewichtetes Portfolio bestehend aus zwei Anlagen mit einer Rendite von 3% und 6% hätte, rechnet man: 0.5*0.03+0.5*0.06 =0.045 = 4.5%

Bei einem asymmetrischen Risikoverständnis interessiert man sich nur für den möglichen Verlust oder Gewinn.

• Value at Risk (VaR) gibt den maximal zu erwartenden Verlust an, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten Periode nicht übertroffen wird.
• Maximum Drawdown zeigt den maximal kumulierten Verlust [in %] innerhalb einer betrachteten Periode auf. MaximumDrawdown=Kurstieft/Kurshoch−1

\(R_A=(1+R_G)^\frac{1}{T}-1\)

wobei  RG die Gesamtrendite und T die Anlagedauer in Jahren bezeichnet.

Dies ist das Geometrische Mittel (Periodengewichtet). Es zeigt die durchnittliche Rendite pro Jahr. Man verwendet es zur Beurteilung der Vermögensentwicklung, denn so werden die Renditen vergleichbar.

\(Rendite=\frac{P_t-P_{t-1}+D_t}{P_{t-1}}\)

Dabei bezeichnet D die Dividende zum Zeitpunkt t. Fällt keine Dividende an kann man die obige Formel ohne D verwenden.

Die obige Formel illustriert die Unterscheidung zwischen Kapitalgewinnrendite und Auszahlungsrendite (e.g. Dividendenrendite) (vgl. Skript S.55).

\(P_t=P_0*(1+r)^t\)

Bei zwei nicht perfekt positiv korrelierten Anlagen (d.h. Korrelation < 1) kann das idiosynkratische Risiko reduziert werden.

Das systematische Risiko kann nicht durch Diversifikation eliminiert werden. Es bezeichnet die Marktrisiken, die alle Aktien betreffen.

Das unsystematische / idiosynkratische Risiko kann durch Diversifikation eliminiert werden.

Die Schwankungsbreite der Rendite einer Anlage wird Risiko genannt.

Das Risiko-Rendite-Prinzip besagt, dass Investoren für das Eingehen von mehr Risiko eine Entschädigung in der Form einer höheren geforderten Rendite verlangen.