09 Schwingungen

y... Elongation

y₀...Amplitude

ω...Kreisfrequenz

φ₀...Anfangsphase

\(y \rightarrow "\infty" \ \ \Delta\varphi=\frac{\pi}{2}\ \ \Rightarrow Resonanz\)

Resonanzfall, dh ein Aufschaukeln der Amplitude ins "Unendliche", inklusive Phasenverschiebung zwischen sich einstellender und Erregerschwingung um pi/2 ⇒ Resonanzkatastrophe.

          \(f_{Eigen} = f_{Erreger}\)

• Wenn die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz ist.
• Wenn es permanent am Umkehrpunkt angeregt wird

Eine Schwingung ist, eine Bewegung eines Körpers um seine Ruhelage.

Den Abstand eines schwingenden Teilchens von seiner Ruhelage zu einem beliebigen Zeitpunkt t bezeichnet man als Elongation. Seine maximale Auslenkung nennt man Amplitude A der Schwingung. Sie wird an den Umkehrpunkten der Schwingung erreicht und ist im Gegensatz zur Auslenkung bei einer ungedämpften Schwingung nicht zeitabhängig.

F_z = Zentripetalkraft: Ist die Kraft um einen Körper auf der Kreisbahn zu halten.

F_y ist die Rückstellkraft der Feder.

F_y= F_z (führt zum Richtmoment der Feder)

\(k \cdot y = m \cdot r \cdot \omega^2\)           \(/y=r\)

\(k=m \cdot \omega^2\)

\(k=m \cdot\omega^2\)

\([k]=1{N\over m}=1{kg\over s^2}\)

Die Resonanz liegt vor wenn :

1. die Eigenfrequenz f₀ ~ der Erregerfrequenz ist
2. aufschaukeln der Amplitude
3. Phasenverschiebung ist \({π \over 2}\)

Durch eine fremderregte Schwingung kommt es, wenn die Erregerfrequenz f_err gleich der Eigenfrequenz f₀ ist, zum Aufschaukeln der Amplidude. Wenn keine Dämpfung vorhanden ist schaukelt die Amplitude bis ins unendliche auf und dies entpricht der Resonanzkatastrophe.

\(T = {2\cdot \pi}\cdot\sqrt{m\over k}\) 

f...Frequenz

T...Periodendauer

k...Federkonstante

m...Masse

\(T= 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l \over g}\) 

T... Periodendauer

l ... Pendellänge

g... Erdbeschleunigung

f... Frequenz

Die Schwingungsdauer T ist nur abhängig von l und g, aber unabhängig von der Masse und von der Amplitude.

Die Frequenz des Windes war gleich der Eigenfrequenz der Brücke, so passiert ein Aufschaukeln der Amplitude und schlussendlich findet eine Resonanzkatastrophe statt.

\(E_{Schw.}={{1\over 2}⋅m⋅\omega^2⋅y_{max}^2}\)

\([E_{Schw}]= 1 J\)

m.. Masse

\(\omega\)...Winkelgeschwindigkeit

\(y_{max}\)...Amplitude

Man bezeichnet jedes schwingende Objekt als Oszillator.

Weil der Kosinus nur ein phasenverschobener Sinus ist: \(\cos(\varphi) = \sin(\varphi + {\pi\over 2})\)

Hängebrücken sind in gewissen Grenzen frei beweglich. Bereits geringe Windstärken können solche Brücken in Schwingungen versetzen. Zum Problem wurde dies z.B. bei der Tacoma-Narrows-Brücke in Washington. (Bild) Die Brücke wurde so wieder aufgebaut, dass ihre Eigenfrequenz nicht mehr zu Resonanz mit Winden führen konnte.

Akustische Resonanz spielt bei fast allen Musikinstrumenten eine Rolle, oft durch Bildung einer stehenden Welle.

In geschlossenen Räumen kann es bei bestimmten Frequenzen zu störender Raumresonanz kommen.