Mathematik für PhysikerInnen 3 - Teil 1: Differentialgleichungen
Differentialgleichungen, Variationsprobleme, Vektoranalysis im Mehrdimensionalen, Fourier-Analyse
Differentialgleichungen, Variationsprobleme, Vektoranalysis im Mehrdimensionalen, Fourier-Analyse
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 37 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Physique |
| Niveau | Université |
| Crée / Actualisé | 10.02.2015 / 31.07.2022 |
| Attribution de licence | Non précisé |
| Lien de web |
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| Intégrer |
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Definiere: Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Gewöhnliche Differentialgleichungen sind die, die NUR nach 1 Variable abgeleitet werden.
Definiere: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
Differentialgleichungen der Form \(y' = f(x)\cdot g(y(x))\) heißen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
Mit welcher Methode werden Differentialgleichungen mit getrennten Variablen gelöst?
Trennung der Variablen.
Wie lautet die Methode Trennung der Variablen zur Lösung von DGLen mit getrennten Variablen?
Die DGL mit getrennten Variablen \(y' = f(x)\cdot g(y(x)) \) kann man folgendermaßen lösen:
\(y' = f(x)\cdot g(y(x)) \leftrightarrow \frac{y'}{g(y(x))} = f(x)~;~ g(y(x)) \neq 0\)
Seien nun \(F(x) \) Stammfunktion von \(f(x)\) und \(G(y(x))\) Stammfunktion von \(\frac{1}{g(y(x))}\). Dann lauten die Ableitungen nach x, wie folgt:
1) \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x) \)
2) \(\frac{d}{dx} G(y(x)) = \frac{1}{g(y(x))}\cdot y'(x)\)
Die DGL besagt also
\(\frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} G(y(x)) \)
\(\frac{d}{dx} [G(y(x))-F(x)] = 0\)
Für eine Lösung gilt dann:
\(F(x) = G(y(x)) + C ~;~ C\in \mathbb{R}\)
Definiere: Exakte Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form \(f(x,y) + g(x,y)y'=0\)heißt genau dann exakt, wenn es eine Funktion \(F(x,y) \) für die gilt:
\(\frac{dF}{dx} = f(x,y)~~~;~~~\frac{dF}{dy} = g(x,y).\)
AUCH: Seien \(f,g\) stetig, differenzierbar und auf einem Rechteck definiert sind. Dann gilt: \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}.\)
Wie lautet die allgemeine Lösung von exakte Differentialgleichungen?
Die Lösung \(y(x)\) muss folgendes erfüllen:
\(0 = \frac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))\cdot y'+ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y(x)).\)
Nach Kettenregel lautet dann die Gleichung
\(0 = \frac{d}{dx} F(x,y(x))\)
\(\rightarrow F(x,y(x)) = C~~~;~~~C\in\mathbb{R}\)
Unter welchem Annahmen sind folgende Aussagen äquivalent?
i) Es ex. eine Funktion \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) füt die gilt: \(\frac{\partial F}{\partial x} (x,y(x)) = f(x,y(x))~~~;~~~\frac{\partial F}{\partial y} (x,y(x)) = g(x,y(x)).\)
ii) \(\forall (x,y) \in \mathbb{R}\) gilt \(\frac{\partial f}{\partial y} (x,y(x)) = \frac{\partial g}{\partial x} (x,y(x)).\)
Die Aussagen sind äquivalent, wenn \(f,g\) auf einem Rechteck \(R\)
\(R = \{ (x,y)\in\mathbb{R}| x_0-a< x < x_0+a~;~y_0-b< y < y_0+b\}\)
definierte stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen.
Definiere: Integrierende Faktoren.
Angenommen, die DGL
\(f(x,y(x))+g(x,y(x))y'=0\) (1)
sei nicht exakt. Dann kann man eine Funktion \(M(x,y(x))\)finden, sodass die DGL
\(M\cdot f+M\cdot g\cdot y'=0\) (2)
exakt ist.
\(M(x,y(x))\) ist ein integrierender Faktor.
Ist \(M(x,y(x)) \ne 0 ~~~;\forall (x,y)\), so folgt dass \((1) \leftrightarrow (2)\).
