Mathematik

- Der Graph hat eine Symetrieachse

- Der Graph schneidet die Symetrieachse am tiefsten/höchsten Punkt.

- Verschiebt sich der Graph auf der Y-Achse dann lautet die Formel:

y = x² + c  (Verschiebung nach oben)

y = x² - c (Verschiebung nach unten)

a bestimmt die Form des Graphen.

Ist a kleiner als 1, dann ist der Graph breiter.

Ist a größer als 1, dann ist der Graph schmäler.

Wenn a postitiv ist dann ist der Graph nach oben geöffnet, wenn a negativ ist dann ist der Graph nach unten geöffnet.

Wenn man die Parabel y = ax² mit der Schablone zeichnen möchte muss man die Y-Achse anpassen.

Bsp. Bei y = 2x² sind die 1cm Schritte immer 2x (2;4;6;8;usw....)

Wird der Graph auf der x-Achse verschoben dann lautet die Formel:

y = (x+d)² Verschiebung nach links

y = (x-d)² Verschiebung nach rechts

y = (x+d)² +c Verschiebung auf der y-Achse

Aus der Scheitelpunktsform y = a(x + d)² + e kann man einfach den Scheitelpunkt S(d;e) ablesen.

Die algemeine Formel für Quadratische Gleichungen lautet:

y = ax² + bx + c

Reinquadratische Gleichungen:

x² = c  oder  ax²=c 

Lösungen:

x² = c  /√

x = √c  -  x = √-c

1. c > 0 es gibt zwei Lösungen

2. c = 0 es gibt eine Lösung

3. c < 0 es gibt keine Lösung

Bsp.

3x²-75 = 0     /:3

  x²-25 = 0    /+25

         x = 25  /√

x₁ = √25 - x₂ = -√25

x₁ = 5 - x₂ = -5

L = (-5;5)

Bei der gemischtquadratischen Gleichung kommt x² sowie x vor.

x² + bx = 0  -->  x(x+b) = 0

x = 0; x = -b

Bsp.

1)

7x² -35x = 0   /:7

  x² -5x  = 0   /x ausklammern

   x(x-5)  = 0

x = 0; x-5 = 0

x₁ = 0 - x₂ = 5

2)

(x-5)² = 16   /√

(x-5)   = 4

x-5 = 4  -  x-5 = -4

x₁ = 9; x₂ = 1

3) umstellen in ein Bionom

x² - 10x - 39 = 0

+5² auf beiden Seiten addieren um ein Bionom zu erhalten ind 39 auf die andere Seite setzen.

x² - 10x + 5² = 39 + 5²

            (x-5)² = 64      /√

x-5 = 8; x-5 = -8

x₁ = 13; x₂ = -3

Gleichungen müssen immer erst in Normalform gebracht werden um sie mit der pq-Formel zu rechnen.

Gemischtquadratische Gleichungen haben die Normalform:

x² + px + q = 0  

Äquivalent zur Normalform ist die allgemeine Form:

ax² + bx + c = 0

Der Ausdruck unter der Wurzel wird als Diskriminate D bezeichnet.

x₁ und x₂ sind die Nullstellen der x-Achse; die Symetrieachse ist x = -p/2