Analysis 2 – FS2021 – Teil

Eine Funktion \(ƒ: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) heisst setig im Punkt \(p \in \mathbb{R}\) genau dann wenn für alle \(\epsilon\) > 0 ein \(\delta \)  > 0 existiert so, dass \(\forall q \in \mathbb{R}\) mit \(|q-p| \leq\delta\) gilt, dass \(|ƒ(q)-ƒ(p)| \leq \epsilon\).

Sei \(U \subset \mathbb{R}^m\)offen. Eine Abbildung \(ƒ: U \to \mathbb{R}^n\) heisst diferenzierbar im Punkt \(p \in U\), falls folgendes existiert

(i) Eine lineare Abbildung genannt Differential \((Dƒ)_p: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) von ƒ an der Stelle p.

(ii) und die Dreigliedentwicklung (DGE) von ƒ d.h. eine Unterteilung von ƒ in drei Summanden so dass \(\forall f \in \mathbb{R}^m\) mit\(p+h \in U\) und einem Restterm \((Rƒ)_p(h) \in \mathbb{R^n}\), der relativ klein in \(||h||_2\) gilt dass \(ƒ(p+h) = ƒ(p)+(Dƒ)_p(h)+(Rƒ)_p(h)\).

Definition Komponentenfunktionen: Sei \(ƒ:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n\)eine Abbildung. Dann existieren eindeutige Komponentenfunktionen \(ƒ_k:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R} \textrm{ für }1\leq k\leq n \) mit folgender Eigenschaft:\(\forall p\in \mathbb{R}^m \textrm{ gilt, dass } ƒ(p)=\sum^n_{k=1} ƒ_k(p)\cdot e_k\).

Die Abbildung ƒ ist bei \(p\in \mathbb{R}^m\) differenzierbar, genau dann wenn alle Komponentenfunktion \(ƒ_k\) bei p differenzierbar sind.

\(\textrm{In } \mathbb{R} \textrm{ (n=1) sind alle stetigen Vektorfelder Gradientenfelder}\)

Das Differential \({(Df)}_p \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) einer differenzierbaren Funktion ƒ ist linear, hat also bezüglich der Standardbasen auf \(\mathbb{R}^m\) und \(\mathbb{R}^n\) eine Abbildungsmatrix \({(Jf)}_p \in \mathbb{R}^{n \times m}\), genanntJakobimatrix von ƒan der Stelle \(p \in U\).

Die Einträge der Jakobimatrix \({(Jf)}_p\):
Sei \( f(p) = \sum_{k=1}^{n} f_k(p) e_k\). Die Koeffizienten von \({(Jf)}_p\) sind dann
\(\begin{align*} {({(Jf)}_p)}_{ij} &= \langle {(Df)}_p(e_j), e_i \rangle \\ &= \left\langle \sum_{k=1}^{n} {(Df_k)}_p(e_j) e_k, e_i \right\rangle \\ &= {(Df_i)}_p(e_j). \end{align*}\)

Gemäss der Definition der j-ten partiellen Ableitung ergeben die Einträge der Jakobimatrix das folgende:

\({(Jf)}_p = \begin{pmatrix} {\partial f_1}/{\partial x_1}(p) & {\partial f_1}/{\partial x_2}(p) & \cdots &{\partial f_1}/{\partial x_m}(p) \\ {\partial f_2}/{\partial x_1}(p) & {\partial f_2}/{\partial x_2}(p) & \cdots & {\partial f_2}/{\partial x_m}(p)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial f_n / \partial x_1 (p) & \partial f_n / \partial x_2 (p) & \cdots & \partial f_n / \partial x_m(p) \end{pmatrix}.\)

Im Fall das \(ƒ: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) skalare Werte annimmt, erhalten wir für die Jakobimatrix einen Zeilenvektor. Der transponierte Vektor

\( {(\nabla f)}_p = \begin{pmatrix} \partial f / \partial x_1 (p) \\ \vdots \\ \partial f/ \partial x_m (p) \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m\)

heisst Gradient von ƒ bei p. Es gilt \({(Df)}_p(v) = \langle {(\nabla f)}_p, v \rangle.\)

Sei \(f \colon U \to \mathbb{R}\) differenzierbar an der Stelle \(p \in U\), welche ein lokales Minimum (beziehungsweise Maximum) von ƒ ist. Dann gilt \({(Df)}_p = 0\).
 

Seien \(\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) und \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann ist die Komposition \(h = f \circ \gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Es gilt für alle \(t \in \mathbb{R}\), dass
\(\begin{align*} h'(t) &= {(Dh)}_t(1) = {(Df)}_{\gamma(t)}({(D\gamma)}_t(1)) \\ &= {(Df)}_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t)) \\ &= \langle {(\nabla f)}_{\gamma(t)}, \dot \gamma(t) \rangle. \end{align*}\)

\(h = f \circ \gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ist konstant (d.h. h'(t) = 0) genau dann, wenn für alle \(t \in \mathbb{R}\) der Gradient \((\nablaƒ)_{\gamma(t)}\) senkrecht auf \(\dot \gamma(t)\) steht.

Das Bild einer Kurver \(\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) heisst Niveaulinie von ƒ, falls \(f \circ \gamma (t)\) konstant ist.

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung \(f \colon X \to X\) heisst kontrahierend, falls es eine positive Konstante k < 1 gibt, so dass für alle \(p, q \in X\) gilt, dass \(d(f(p), f(q)) \leq k \cdot d(p, q)\).

Sei (X, d) ein vollständiger nicht-leerer metrischer Raum. Dann hat jede kontrahierende Abbildung
 \(f \colon X \to X\)\(p \in X\) einen eindeutigen Fixpunkt, das heisst es existiert genau ein Punkt  mit \(f(p) = p\).

Eine Kurve in \(\mathbb{R}^n\) ist das Bild einer stetigen Abbildung \(\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\). Die Abbildung \(\gamma\) heisst Parametrisierung der Kurve \(\gamma\). Wir werden die Unterscheidung zwischen Kurven und Parametrisierungen nicht immer explizit machen.

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen. Eine Abbildung \(X \colon U \to \mathbb{R}^n\) heisst Lipschitz-stetig mit Konstante \( k \geq 0\), falls für alle \(p, q \in U\) die Ungleichung
   \( \Vert X(q) - X(p) \Vert_2 \leq k \cdot \Vert q - p \Vert_2\)
gilt.

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen und \(X \colon U \to \mathbb{R}^n\) Lipschitz-stetig mit Konstante \(k \geq 0\). Sei \(p \in U\) vorgegeben. Dann existiert T > 0 und eine eindeutige differenzierbare Kurve \(\gamma \colon (-T, T) \to U\) mit \(\gamma(0) = p\), so dass für alle \(t \in (-T, T)\) gilt, dass

\( \dot \gamma(t) = X(\gamma(t))\).

Eine Kurve braucht nicht stetig differenzierbar zu sein, um eine endliche Länge \(L(\gamma)\) zu haben.

Sei \(\gamma \colon [0, 1] \to \mathbb{R}^n\) stetig. Eine Partition des Intervalls [0, 1] ist eine endliche Folge von Zeitparametern \(0 = t_0 < t_1 < ... < t_N = 1\). Wir notieren diese Partition als \(P = \{t_0, t_1, \dots, t_N\}\).Setze
\( L(\gamma ; P) = \sum_{k=1}^{N} \Vert \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) \Vert_2.\)

Sei \(\gamma \colon [0, 1] \to \mathbb{R}^n\) stetig. Dann ist die Länge von \(\gamma\)das Supremum von \(L(\gamma ; P)\), wobei P über alle Partitionen von [0, 1] läuft. Falls die Länge von \(\gamma\) endlich ist, dann heisst \(\gamma\) rektifizierbar.

Spezialfälle:

(i) Sei \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) (das heisst n = 1). Seien a,b  \(\in \mathbb{R} \textrm{ mit }a < b\). Dann existiert \(x \in I_{a, b} \setminus \{a, b\} = (a, b)\) mit \({(Df)}_{x}(b-a) = f(b) - f(a)\). Es gilt also
       \( f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.\)
Wir haben also die eindimensionale Version des Mittelwertsatzes erfolgreich aus der momentanen Version extrahiert.

(ii) Nimm an, dass  \(f(b) = f(a)\) gilt. Dann existiert mit \(p \in I_{a, b} \setminus \{a, b\}\)
       \( \langle {(\nabla f)}_{p}, b-a \rangle = {(Df)}_p(b-a) = 0,\)
das heisst $\({(\nabla f)}_p\)$ steht senkrecht auf b-a.
    

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n \textrm{ offen, }f \colon U \to \mathbb{R}^n\) stetig differenzierbar, und \(p \in U\) ein Punkt mit \( \det( {(Df)}_p ) \neq 0\). Dann existieren offene Mengen\(V, W \subset \mathbb{R}^n\)  mit \(p \in V \subset U\) und \(f(p) \in W\), sowie eine differenzierbare Abbildung \(g \colon W \to V\) mit \(f \circ g = \text{Id}_W \textrm{ und } g \circ f|_V = \text{Id}_V\). Für alle \(y \in W \textrm{ gilt }{(Dg)}_y = {(Df)}_{g(y)}^{-1}\).

Die einzelnen Schritte des Beweises sind folgende.

(1) Lokale Injektivität

(2) Lokale Surjektivität,

(3)Differenzierbarkeit der lokalen Umkehrfunktion \(g \colon W \to V\).

Sei \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) stetig differenzierbar und \(p \in \mathbb{R}^n\) so, dass \({(Df)}_p \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) surjektiv ist, das heisst, dass \({(\nabla f)}_p \neq 0\) ist. Nimm zusätzlich an, dass \(p = 0, \textrm{ }f(0) = 0\), und \(\partial f/ \partial x_n (0) \neq 0\). Dann existieren \(\varepsilon > 0\), \(\delta > 0\),
  und eine differenzierbare Abbildung

\( g \colon B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon) \times (-\delta, \delta) \to \mathbb{R},\)  so dass für alle \(q = (x_1, \dots, x_{n-1}) \in B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon)\) und alle \(w \in (-\delta, \delta)\) gilt, dass
\( f(x_1, \dots, x_{n-1}, g(x_1, \dots, x_{n-1}, w)) = w.\)
Hier ist \(B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon) = \left\{q \in\mathbb{R}^{n-1} \mid \Vert q \Vert_2 < \varepsilon \right\}\).

Geometrische Interpretation:
Bei festem\(q = (x_1, \dots, x_{n-1}) \in B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}\) und festem \(w \in (-\delta, \delta)\) hat die Gleichung \(f(x_1, \dots, x_{n-1}, z) = w\) eine Lösung \(z = g(x_1, \dots, x_{n-1}, w) \in \mathbb{R}\).
Die Niveaumengen \(f^{-1}(w)\) lassen sich in einer Umgebung des Punkts \(p \in \mathbb{R}^n\) als Graphen von Funktionen betrachten. Die Einschränkung von \(g \textrm{ auf } B_0^{\mathbb{R}^{n-1}} \times \{w\}\) liefert eine Abbildung
\(\begin{align*} \overline g \colon B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon) & \to \mathbb{R} \\ q & \mapsto g(q, w). \end{align*}\)

Die Niveaulinie \(f^{-1}(w)\) ist über \(B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon)\) realisiert als Graph der Funktion \(\overline g\).