Chapitre 11 : extrema de Rn --> R

On dit que f : E ⊂Rn →R présente un maximum local en a ∈E, si et seulement si on a f (x)≤ f (a) sur un voisinage de a :

∃δ > 0 : ∀x ∈ E , f (x) ≤ f(a) ⇐ ||x−a|| ≤ δ

On dit que f : E⊂Rn → R présente un maximum global en a ∈ E, ssi

∀x ∈ E , f(x) ≤ f(a)

On dit que f : E ⊂ Rn → R présente un point critique en a ∈ Int(E) ssi

daf = 0 c’est-à-dire ∇f =0

Soit f : E ⊂ Rn → R. Soit a ∈ Int(E) et f dérivable en a dans la direction u.

Alors a est un extremum local ⇒ ∂f / ∂u (a) = 0

Soit f : E ⊂ Rn → R. Soit a ∈ Int(E) et f différentiable en a.

Alors a est un extremum local ⇒ ∇ f(a) = 0

Soit f : E ⊂ Rn → R et a ∈ Int(E). Si ∂2f / ∂xi∂xj et ∂2f / ∂xj∂xi , avec i 6= j, existent dans un voisinage de a et sont continues en a,

alors, ∂2f / ∂xi∂xj (a)= ∂2f / ∂xj∂xi (a).
 

Soit f : E ⊂ Rn → R, a ∈ IntE et f ∈ Ck(E). Si daf = d(2)af = ... = d(k−1)af = 0 et d(k)af ≠ 0,tel que

• k est impair, alors a n’est pas un extremum
• k est paire et d(k)af > 0, ∀h ≠ 0, alors a est un minimum de f
• k est paire et d(k)af <0, ∀h ≠ 0, alors a est un maximum de f
• k est paire et ∃h1 et h2 : d(k)af de hk1 > 0 et d(k)af de hk2 < 0, alors a n’est pas un extremum

Soit f : E ⊂ Rn → R, a ∈ IntE et f ∈ Ck(E). Soit a un point critique (daf =0) tel que d2af ≠ 0.

• Si d2af est une forme quadratique définie positive, alors a est un minimum de f
• Si d2af est une forme quadratique définie négative, alors a est un maximum de f
• Si d2af est une forme indéfinie, alors a n’est pas un extremum de f