Angewandte FEM in der Dynamik

Bewegungsgleichung: \([M]\cdot\{u''\}+[C]\cdot\{u'\}+[K]\cdot\{u\}=\{F\}\)

Eigenwertaufgabe: \(||[K]-\omega^2\cdot[M]||=0\)

K = Steifigkeitsmatrix

M = Massenmatrix

C = Dämpfungsmatrix

F = Lastvektor

Zu jeder Eigenfrequenz gehört eine ganz spezifische Schwingungsform, die Eigenform. (stehende Wellen)

Für rotierende Strukturen werden die Eigenfrequenzen in Abhängigkeit der Drehzahl Dargestellt.

Das Logarithmische Dekrement, ist der natürliche Logarithmus vom Verhältnis q von zwei aufeinanderfolgenden Schwingungen.

Das Logarithmische Dekrement und der Dämpfungsgrad D (Lehr' sches Dämpfungsmass) stehen in einem Verhältnis.

Bei einem stationären Problem tritt keine oder lediglich eine sehr geringe und damit vernachlässigbare Änderung der Temperaturen und der inneren Energie über der Zeit auf. Wenn Energie von aussen zugeführt wird, muss aus Gleichgewichtsgründen eine Energieabfuhr in gleicher Höhe vorhanden sein. Daraus ergibt sich eine Kontrollmöglichkeit, bei der alle äusseren Einflüsse bilanziert werden und verifiziert wird, dass kein Restbetrag (Residuum) verbleibt.

Instationäre (transiente) Vorgänge beinhalten Temperaturverteilungen im Bauteil, die sich mit der Zeit ändern. Diese Änderungen können sich z. B. auch ohne Wärmezu- oder -abfuhr von aussen durch die im Bauteil gespeicherte Wärme ergeben. Typische Anwendungen sind

• Aufheiz- und Abkühlvorgänge wie z. B. das An- oder Herunterfahren eines Motors oder

• Erstarrungsvorgänge bei Gussbauteilen.

Am Ende des An- oder Herunterfahrens nähern sich die Temperaturen asymptotisch einem stationären Zustand. Bei transienten Problemen ändern sich die Temperaturen im Bauteil und damit die innere Energie in Abhängigkeit von der Zeit. Eine Energiebilanz muss die von aussen zu- oder abgeführten Energien und die innere Energie berücksichtigen.

Wärmeleitung (Conduction):

Übertragung einer Wärmemenge (Energie/Zeit) innerhalb eines Stoffes (Volumens) von Gebieten mit hoher Temperatur in Gebiete mit niedriger Temperatur.

Wärmeübergang (Convection):

Wärmeübertragung zwischen Festkörpern und flüssigen oder gasförmigen umgebenden Medien. Es wird zwischen freier und erzwungener Konvektion unterschieden.

Strahlung (Radiation):

Übertragung von Wärme durch elektromagnetische Strahlung von Festkörpern zur Umgebung (Festkörper, Fluid, Vakuum).

C:    Wärmekapazitätsmatrix         T: Temperaturgradientvektor

K_th:    Wärmeleitungsmatrix          T:  Temperaturvektor

Q:    Wärmestromvektor

Grundsätzlich werden Änderungen der Materialeigenschaften berücksichtigt.

• Fliessspannungen
• Dehnungen
• Temperaturen
• Streckgrenze
• Verfestigungen

Wird eingesetzt bei:

• Metallplastizität

• hohen Dehnungen

• hohen Dehnraten

• hohen Temperaturen

Wenn die Eigenschaften des Bauteils, die hierbei massgebend sind, und die aufgebrachten Lasten nicht von den Temperaturen abhängen, so liegt ein lineares Problem vor.

Im Gegensatz hierzu ist ein nichtlineares Problem gegeben, wenn die Bauteileigenschaften (im allgemeinen die Materialeigenschaften) oder die Lasten eine Funktion der Temperaturen sind. Zur Lösung einer solchen Aufgabe muss das FE-Programm iterativ vorgehen und erfordert entsprechend Rechenzeit.

Fouriersches Wärmeleitungsgesetz

\(\dot{Q}=-\lambda\cdot A\cdot \frac {dT}{dx} \)

\(\dot{q}=-\lambda\cdot \frac {dT}{dx} \)

Q = Q(x):     Wärmestrom [W]

q = q(x):     Wärmestromdichte [W/m2], auf den Querschnitt bezogener Wärmestrom

T = T(x):     Temperaturverteilung [°C oder K]

dT/dx:         Temperaturgradient [K/m]

λ = λ(x):     Wärmeleitungskoeffizient [W/(m K)]

• Dichte: \(\rho\)
• Spezifische Wärmekapazität: \(c_p\)
• Spezifische Wärmeleitfähigkeit: \(\lambda\)

Dieses Verfahren kombiniert das Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzieren mit gleichwertiger

Gewichtung. Beides sind Verfahren erster Ordnung in der Zeitdiskretisierung. Durch eine Kombination entsteht ein Verfahren zweiter Ordnung mit kleinerem numerischen Fehler.

• Θ = 0:     explizites Verfahren (Vorwärtsdifferenzieren)

• Θ = ½:    Crank-Nicolson-Verfahren

• Θ = ½ - 1:     unbedingte Stabilität gewährleistet

• Θ = 1:     implizites Verfahren (Rückwärtsdifferenzieren)

• Alle Körper sind starr
• Nur Dichte benötigt
• Weniger Freiheitsgrade (nur 6 pro Körper anstatt mindestens 3 pro Knoten)
• Weniger Zeitaufwand (Rechenzeit)

Während beim Expliziten Verfahren lediglich die Werte des aktuellen Zeitschritts zur Berechnung des nächsten verwendet werden, werden beim impliziten Verfahren jeweils die Werte des nächsten Zeitschritts direkt mit einbezogen. Es muss folglich für jeden Zeitschritt ein Gleichungssystem gelöst werden.

Ein in der Praxis häufiges auftretendes Problem ist, dass Wechselwirkungen zwischen unterschiedlichen physikylischen Feldern, z. B.

• Fluid-Struktur-Interaktion

• Thermisch-mechanische-Interaktion

• Piezoelektrik

auftreten.

Derartige Multiphysikaufgaben können entweder zweistufig als

1. Last-Transfer-Methode (uni- oder bidirektional)

oder als wirklich gekoppeltes Problem

2. Direkte Methode (Multiphysikansatz) behandelt werden.

{u},{u’},{u’’}: Verschiebungsvektor und dessen 1.bzw. 2. Ableitung.

[M]: Massenmatrix

[C]: Dämpfungsmatrix

[K]: Steifigkeitsmatrix

{F}: Lastvektor

Direkt oder als modale Superposition

Eine Modalanalyse wird durchgeführt und die Eigenvektoren werden bestimmt. Die Modalmatrix wird erstellt und eingesetzt. Durch das Einsetzen und Multiplizieren mit der transponierten der Modalmatrix, werden {M} {C} und {K} auf diagonalform Transformiert. Dadurch werden die Einzelnen gleichungen entkoppelt.(Michael Link Finite Elemente in der Statik und Dynamik S. 263)

• System mit N gekoppelten Differentialgleichungen

• Für lineare Systeme setzt sich die transiente bzw. harmonische Lösung aus den Grundschwingungen (Eigenschwingungen) zusammen.

• Bei der modalen Superposition wird dieses Gleichungssystem entkoppelt.

• Die entkoppelten p Gleichungen werden gelöst und zur Gesamtlösung superponiert.

Sie beruht auf der Annahme, dass die Verteilung der Masse und der Steifigkeit ein Mass für die Verteilung der Lerschen Dämpfung ist.

\([C_r]=\alpha\cdot [M]+\beta \cdot [K] \)

Die Bestimmung der Eigenfrequenzen und Schwingformen eines Systems.

Zu beachten:

• Dämpfung
• Stress Stiffening
• Spin Softening
• Kreiseleffekte
• relevante Frequenzen
• Lagerung
• Idealisierung

Berechnet wird die stationäre Antwort der Struktur auf diese Lasten als Funktion der Frequenz (Frequenzgang, Phasengang oder Übertragungsfunktion).

Dabei können verschiedene Belastungen mit unterschiedlichen Phasenwinkeln gleichzeitig berücksichtigt werden. Die Frequenzganganalyse ist jedoch nur für lineare Strukturen möglich.

Eine Frequenzganganalyse ist anwendbar, wenn die Lastfunktion F(t) harmonisch mit konstanter Amplitude, Phase und Frequenz ist.

Transiente Analyse = Zeitintegration

Sowohl auf lineare als auch auf nichtlineare gedämpfte und ungedämpfte Probleme anwendbar.

Vorüberlegungen:

• Welches Verfahren Der Transienten Analyse soll durchgeführt werden:

  • Das Zentrale Differenzverfahren

  • Das Houbolt Verfahren

  • Das Newmark-Verfahren

• Zeitschrittwahl
  • Belastungskurve
  • Antwortfrequenz des Systems
  • Kontaktfrequenz
  • Wellenausbreitung
  • Nichtlineare Effekte
  • Variable Zeitschrittgrösse

• Explizit oder implizite Berechnung

• FEM nötig oder reicht MKS? interessiert an Spannungen (Kinetik) oder nur an der Bewegung (Kinematik)

• Alle Lasten müssen im Zeitbereich sinus- oder cosinusförmig sein.

• Alle Lasten am Modell müssen die gleiche Anregungsfrequenz haben.

• Nichtlinearitäten können nicht berücksichtigt werden.

• Transiente Effekte werden nicht mitberücksichtigt. (Nur Stationäre Lösungen)

Belastungskurve

Die kürzeste Länge einer diskontinuierlichen Belastungskurve sollte durch mindestens 7 Zeitschritte abgebildet werden

Antwortfrequenz des Systems

Die höchste Eigenschwingung (Frequenz f ), die für die Antwort des Systems von Bedeutung ist, sollte mit mindestens 20 Zeitschritten abgebildet werden, d.h. der Zeitschritt muss der Bedingung dt < 1 / (fmax ·20) genügen.

Kontaktfrequenz

Bei Kontaktproblemen tritt ein Energieverlust auf. Dieser Energieverlust ist eine Funktion der Kontaktfrequenz, die sich aus der Kontatksteifigkeit k und der am Kontakt-Element wirksamen Masse m berechnen lässt. Je nachdem wie viel Energieverlust akzeptiert wird, sollte die Kontaktschwingung mit 10-40 Zeitschritten abgebildet werden. Es gilt wieder, dass die Genauigkeit umso höher ist, je kleiner der Zeitschritt gewählt wird.

Wellenausbreitung

Sollen Wellenausbreitungseffekte bei Schlag- oder Stossbelastungen berücksichtigt werden, muss die Elementeinteilung die Form und der Zeitschritt den zeitlichen Verlauf der auftretenden Stosswelle wiedergeben können. Dies gilt für den physikalischen Effekt, den der Anwender berechnen will (aber darüber hinaus auch für die numerische Stabilität, wenn ein zentrales Differenzenverfahren gewählt wird).

Nichtlineare Effekte

Der Zeitschritt muss so gewählt sein, dass die Belastungsänderungen innerhalb des Zeitschritts nicht so gross sind, dass sie zu Problemen bei der Konvergenz führen. Innerhalb jedes Zeitschritts werden bis zu 25 (Voreinstellung) Gleichgewichtsiterationen durchgeführt. Die maximal mögliche Anzahl von Gleichgewichtsiterationen kann definiert werden.

Variable Zeitschrittgrösse

Für nichtlinear transiente Analysen kann der Zeitschritt in verschiedenen Lastfällen mit unterschiedlichen Grössen definiert werden.