lineare Algebra II

1. Die Determinante ist bilinear, d.h. in jeder Zeile (bzw. Spalte) linear.
2. Determinanten sind alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Spalten --> det(A)=0
3. Die Determinante ist normiert, d.h. det(In)=1

• Die 3 Eigenschaften der Definition
• det(k * A) = kⁿ * det(A)
• Hat A eine Nullzeile oder -spalte --> det(A) = 0
• Bei jeder Vertauschung von Zeilen (bzw. Spalten) ändert die Determinante ihr Vorzeichen. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
• Wird k mal die j-te von A zur i-ten Zeile von B (mit i ungleich j) addiert, so bleibt die Determinante unverändert. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
• Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist die Multiplikation der Diagonalelemente.
• Bei Kastenform ist det(A) = det(A1) * det(A2)
• det(A) = 0  <--> rang(A) < n
• det(A * B) = det(A) * det(B)
• det(A^-1) = det(A)^-1

siehe Abb

Seien A und B quadratische Matrizen, so sind sie ähnlich zu einander wenn B = SAS^-1 gilt.

Bem.: Stellt man einen Endomorphismus einmal zur Basis V1 und V2 dar und einmal zur Basis V1' und V2' dar, so sind die beiden darstellenden Matrizen zueinander ähnlich.

siehe Abb

siehe Abb

Hau_Lambda(A) = Ker( (A - Lambda*I_n)^a )

Lambda = zugehöriger Eigenwert zum Hau(A)
a = algebraische Vielfachheit

siehe Abb

Anzahl der Jordanblöcke = geometrische Vielfachheit

Länge des Jordankästchens = algebraische Vielfachheit des zugehörigen Lambda_i