Analysis 2 – FS2021 – Teil

Eine Folge \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) konvergiert d.h. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a(n) = \alpha \in \mathbb{R}\) genau dann wenn für alle \(\epsilon\)>0

\(\exists N \in \mathbb{N}\)so, dass \(|a(n) -\alpha| \leq \epsilon\) gilt.
 

Eine Funktion \(ƒ: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) heisst setig im Punkt \(p \in \mathbb{R}\) genau dann wenn für alle \(\epsilon\) > 0 ein \(\delta \)  > 0 existiert so, dass \(\forall q \in \mathbb{R}\) mit \(|q-p| \leq\delta\) gilt, dass \(|ƒ(q)-ƒ(p)| \leq \epsilon\).

Sei \(U \subset \mathbb{R}^m\)offen. Eine Abbildung \(ƒ: U \to \mathbb{R}^n\) heisst diferenzierbar im Punkt \(p \in U\), falls folgendes existiert

(i) Eine lineare Abbildung genannt Differential \((Dƒ)_p: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) von ƒ an der Stelle p.

(ii) und die Dreigliedentwicklung (DGE) von ƒ d.h. eine Unterteilung von ƒ in drei Summanden so dass \(\forall f \in \mathbb{R}^m\) mit\(p+h \in U\) und einem Restterm \((Rƒ)_p(h) \in \mathbb{R^n}\), der relativ klein in \(||h||_2\) gilt dass \(ƒ(p+h) = ƒ(p)+(Dƒ)_p(h)+(Rƒ)_p(h)\).

Definition Komponentenfunktionen: Sei \(ƒ:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n\)eine Abbildung. Dann existieren eindeutige Komponentenfunktionen \(ƒ_k:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R} \textrm{ für }1\leq k\leq n \) mit folgender Eigenschaft:\(\forall p\in \mathbb{R}^m \textrm{ gilt, dass } ƒ(p)=\sum^n_{k=1} ƒ_k(p)\cdot e_k\).

Die Abbildung ƒ ist bei \(p\in \mathbb{R}^m\) differenzierbar, genau dann wenn alle Komponentenfunktion \(ƒ_k\) bei p differenzierbar sind.

\(\textrm{In } \mathbb{R} \textrm{ (n=1) sind alle stetigen Vektorfelder Gradientenfelder}\)

Das Differential \({(Df)}_p \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) einer differenzierbaren Funktion ƒ ist linear, hat also bezüglich der Standardbasen auf \(\mathbb{R}^m\) und \(\mathbb{R}^n\) eine Abbildungsmatrix \({(Jf)}_p \in \mathbb{R}^{n \times m}\), genanntJakobimatrix von ƒan der Stelle \(p \in U\).

Die Einträge der Jakobimatrix \({(Jf)}_p\):
Sei \( f(p) = \sum_{k=1}^{n} f_k(p) e_k\). Die Koeffizienten von \({(Jf)}_p\) sind dann
\(\begin{align*} {({(Jf)}_p)}_{ij} &= \langle {(Df)}_p(e_j), e_i \rangle \\ &= \left\langle \sum_{k=1}^{n} {(Df_k)}_p(e_j) e_k, e_i \right\rangle \\ &= {(Df_i)}_p(e_j). \end{align*}\)

Gemäss der Definition der j-ten partiellen Ableitung ergeben die Einträge der Jakobimatrix das folgende:

\({(Jf)}_p = \begin{pmatrix} {\partial f_1}/{\partial x_1}(p) & {\partial f_1}/{\partial x_2}(p) & \cdots &{\partial f_1}/{\partial x_m}(p) \\ {\partial f_2}/{\partial x_1}(p) & {\partial f_2}/{\partial x_2}(p) & \cdots & {\partial f_2}/{\partial x_m}(p)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial f_n / \partial x_1 (p) & \partial f_n / \partial x_2 (p) & \cdots & \partial f_n / \partial x_m(p) \end{pmatrix}.\)

Im Fall das \(ƒ: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) skalare Werte annimmt, erhalten wir für die Jakobimatrix einen Zeilenvektor. Der transponierte Vektor

\( {(\nabla f)}_p = \begin{pmatrix} \partial f / \partial x_1 (p) \\ \vdots \\ \partial f/ \partial x_m (p) \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m\)

heisst Gradient von ƒ bei p. Es gilt \({(Df)}_p(v) = \langle {(\nabla f)}_p, v \rangle.\)

Sei \(f \colon U \to \mathbb{R}\) differenzierbar an der Stelle \(p \in U\), welche ein lokales Minimum (beziehungsweise Maximum) von ƒ ist. Dann gilt \({(Df)}_p = 0\).