Algebraische Grundstruktur

Das neutrale Element e ∈ M hat die besondere Eigenschaft, dass eine Verknüpfung mit einem beliebigen Element m ∈ M wieder m ergibt, d. h. es ist m ∗ e = e ∗ m = m.

Das inverse Element zu einem Element m ∈ M hat die Eigenschaft, dass eine Verknüpfung hiermit das neutrale Element e ∈ M ergibt. Wenn m′ ∈ M das zu m inverse Element ist, dann gilt m ∗ m′ = m′ ∗ m = e.

Eine Halbgruppe (M, ∗) nennt man eine abelsche (oder kommutative) Halbgruppe, falls für alle m1, m2 ∈ M das Kommutativgesetz gilt.

a + b = b + a

Im Unterschied zu einer Gruppe muss eine Halbgruppe kein neutrales Element besitzen und nicht jedes Element muss invertierbar sein. Eine Gruppe ist also eine Halbgruppe mit neutralem Element, in der jedes Element invertierbar ist.

Wir betrachten die Addition + : ℝ × ℝ → ℝ, definiert durch +(a, b) := a + b. Sie ist eine Verknüpfung auf ℝ, 0 ist das neutrale Element und für jedes a ∈ ℝ ist −a ∈ ℝ das inverse Element. Die Verknüpfung ist sowohl assoziativ als auch kommutativ. Damit ist (ℝ, +) eine abelsche Gruppe.

Die Multiplikation · : ℝ × ℝ → ℝ, definiert durch · (a, b) := a · b für alle (a, b) ∈ ℝ × ℝ, ist ebenfalls eine assoziative Verknüpfung auf ℝ mit 1 als neutralem Element. Damit ist (ℝ, ·) eine Halbgruppe mit neutralem Element.
Darüber hinaus gelten für + und · die genannten Distributivgesetze. Somit ist (ℝ, +, ·) ein Ring.

In R sind nicht unbedingt alle Elemente bezüglich · invertierbar. Die Menge der invertierbaren Elemente in R bezeichnet man mit R×. (R×, ·) ist eine Gruppe. Man nennt (R×, ·) die Einheitengruppe von R.

Aufzählung von Objekten

Sei M eine Menge. Unter einem n-Tupel (oder kurz Tupel) verstehen wir eine Aufzählung von n Objekten m1, …, mn ∈ M in einer Liste. Wir schreiben ein solches Tupel als (m1, …, mn).

eine Abbildung ∗ von M × M nach M

Sei M eine nichtleere Menge. Eine Abbildung ∗ von M × M nach M, also ∗ : M × M → M, nennen wir eine Verknüpfung auf M. Statt ∗ ((m1, m2)) für m1, m2 ∈ M schreiben wir abgekürzt auch m1 ∗ m