7-9 Reihen, Funktionenfolgen, Potenzreihen, Differentialrechnung, Ableitung und Integral

\(\exp : \mathbb C \to \mathbb C\)       \(\exp(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\)

stetig, nicht injektiv

( \(\exp : \mathbb R \times [0,2 \pi) i \to \mathbb C^*\) ist bijektiv; Umkehrabbildung \(\log: \mathbb C^* \to \mathbb R \times [0,2 \pi) i\) )

stetig mit \(|\exp(z)| = \exp(\text{Re}(z)) \quad \forall z \in \mathbb C\)

insbesondere \(|\exp (iy)| = 1 \quad \forall y \in \mathbb R\)

\(\big(\) Konvergenzradius: \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] {\left| \frac{1}{n ! } \right|} =0 \) \(\Rightarrow R = \infty \Rightarrow \) konvergiert \(\forall z \in \mathbb C\) \(\big)\)

\(\sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1}\)             \(\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n}\)

Daraus folgt (siehe Def. \(\exp\)):

\(\sin(z) = \frac{ \exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}\)  und  \(\cos(z) = \frac{ \exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\)

weil

\(\cos(z) + i \sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1} + i\frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n} \right) = \exp(iz)\)

\(\exists ! \pi \in (0,4) \subset \mathbb R : \sin(\pi) = 0\) und es gilt \(e^{2 \pi i} =1 \)

\(\sin'(x) = \cos(x), \quad \cos'(x) = -\sin(x)\)

Potenzreihe mit Koeffizienten in K; Folge \((a_n)_{n=0}^\infty\) in K geschrieben als \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n\). ( T = "variable")

\(K[\![ T ]\!]\)  d.h. Menge aller formalen Potenzreihen

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \in \mathbb C [\![T]\!]\).  Sei \(\rho = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in [0,\infty) \cup \{ \infty \}\) .

Der Konvergenzradius der Reihe \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \) ist \(R = \Bigg\{ \begin{matrix}\infty & \text{falls} & \rho = 0 \\\frac{1}{\rho} & \text{falls} & \rho > 0 , \rho \not = \infty\\0 & \text{falls} & \rho = \infty\end{matrix}\)

Für \(z \in \mathbb C\) mit \(|z| < R\) konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, z^n \) wegen Cauchy's Wurzelkriterium absolut.

1. z.B. \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}a_n\ =\ 10^{-n} & n \ \text{gerade}\\a_n\ =\ 2\cdot 10^{-n+1} &n \ \text{ungerade}\\\end{smallmatrix}\);  \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n = 3.0303..\)  mit \(\rho = 2\)
2. Keine Aussage. Potenzreihe kann konvergieren oder divergieren.
   z.B. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{T^n}{n}\), \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] \frac{1}{n} = 1 \) \(\Rightarrow R = 1\)
   z = -1, konvergiert; z = 1 und z = i, divergiert;

Konvergenz von Potenzreihen: Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \ T^n \in \mathbb C [ \![T]\!]\) Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R > 0\). Definiere \(f_n : D \to \mathbb C\) durch \(\sum \limits_{k=0}^n a_k \ z^k\)  auf  \(D = \overline{B(0,r)}\) mit \(0 < r < R\). (\(f_n\) sind als Polynome stetig)
Die Folge \((f_n )_{n=0}^\infty\) konvergiert gleichmässig gegen f. (insb. f stetig, es gilt \(\lim\limits_{n \to \infty} \int _ B f_n dx = \int_B f \,dx\))

Seien \(D \subseteq \mathbb R\), \(f_n: D \to \mathbb R\) stetig mit  \(n = 0,1,2,\dots\)

\(\forall \varepsilon >0 \quad \exists N \in \mathbb N\)  mit  \(\| f_n - f \|_\infty < \varepsilon \quad \forall n \in \mathbb N\)  dann ist f stetig.

\((f_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gleichmässig gegen f.

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n T^n \in \mathbb C [\![ T ]\!]\) mit Konvergenzradius \(R \in \mathbb R_{\ge 0}\). Falls die Reihe konvergiert, gilt:

\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} t \to R \\ t < R \end{smallmatrix}} \sum \limits_{n=0}^\infty a_n t^n = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n R^n\)  i.e. \(f(t) := \sum \limits_{n=0}^\infty a_n t^n\) ist stetig bei R