14 Globale Integralsätze
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Fragen zum Kapitel 14 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Fragen zum Kapitel 14 aus der Vorlesung
Kartei Details
| Karten | 27 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 10.06.2020 / 27.02.2024 |
| Lizenzierung | Namensnennung (CC BY) (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf) |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/20200610_14_globale_integralsaetze
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\(\text{div}(F)\)
Die Divergenz (Quellenstärke) von Vektorfeld F ist:
(mit \(U \subseteq \mathbb R^n\)offen und \(F: U \longrightarrow \mathbb R^n\) ein diff'bares Vektorfeld auf \(U\))
Eine Funktion \(div(F): U \longrightarrow \mathbb R\)
\(div(\vec{F})=tr(DF(x))=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\dots+\frac{\partial F_n}{\partial x_n} = \nabla \cdot \vec{F}\)
Sei \(\gamma = (\gamma_1, \gamma_2):[a,b] \longrightarrow \mathbb R^2\) stückweise stetig diff'barer Pfad.
Sei \(t \in [a,b]\) sodass \(\gamma\) bei \(t\) diff'bar.
Wir schreiben [...] und bezeichnen diesen Vektor als Aussennormale an \(\gamma\) im Punkt \(\gamma(t)\).
\(n_\gamma(t) = (\gamma_2'(t), \gamma_1'(t))\)
\(\int_\gamma F \ dn_\gamma\)
Def. glatt berandet
Eine abgeschlossene Teilmenge \(B\subseteq\mathbb R^n\) heisst ein glatt berandeter Bereich, falls..
..zu jedem Punkt \(p\in B\) eine Umgebung \(U_p \) von \(p \) in \(\mathbb R^n\) und ein Diffeomorphismus \(\varphi:U \longrightarrow V\subseteq \mathbb R^n\) mit \(\varphi(U\cap B) = \{ y \in V | y_n \le 0\}\) existiert.
Aus der Definition für glatt berandete Bereiche folgt insbesondere, dass..
..der Rand \(\partial B\) eines glatt berandeten Bereichs \(B\) eine \(n-1\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb R^n\) ist.
(nach Def: \(U_p\) offene Umgebung von p und \(\varphi: U_p \longrightarrow V_p\) Diffeomorphismus nach \(V_p\in \mathbb R^n\) offen mit
\(\varphi_p(U_p \cap B) = \{ y\in V_p | y_n \le 0\}\) für \(\forall p \in \partial B\);
also glatt berandet, wenn \(B\) lokal um jeden Punkt aussieht wie das Gebiet unter dem Graphen einer glatten reellwertigen Funktion in \(n-1\) Variablen, geeignet rotiert.)
(Ein Schnitt \(U_p \cap B\) lässt sich als Menge aller Punkte unter einem Graphen auffassen)
\(rot(F)\)
Die Rotation (Wirbelstärke) von Vektorfeld F ist:
(mit \(F: U \longrightarrow \mathbb R^3\) stetig diff'bares Vektorfeld auf offener Menge \(U \subseteq \mathbb R^3\))
\(rot(F)=\begin{pmatrix}\partial_2 F_3-\partial_3 F_2\\\partial_3 F_1-\partial_1 F_3\\\partial_1 F_2-\partial_2 F_1 \end{pmatrix} = \nabla \times F\) (ein Vektorfeld)
2D:
\(rot(F)=\partial_1 F_2-\partial_2 F_1\) (ein Skalarfeld)
Faltung von (\(f:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) stetig) mit (\(\psi: \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) glatt mit kompaktem Träger)
Darstellung, Eigenschaften
\((\psi * f)(x)=\int_{\mathbb R^n} \psi(x-y) f(y) dy\) (Parameterintegral)
Die Funktion \((\psi * f): \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) ist glatt mit Träger in \(\text{supp}(\psi)+\text{supp}(f)\).
(Lemma 14.13)
Sei \(f:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) stetig (also für \(\varepsilon > 0 \quad \exists \ \delta \in ( 0, \varepsilon )\) mit \(|x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)).
So existiert eine glatte Funktion \(\psi:\mathbb R^n \rightarrow [0,\infty)\) sodass ... (und ist damit Glättungskern).
\(\text{supp}(\psi)\subseteq B(0,\delta)\) und \(\int_{\mathbb R^n} \psi\, dx = 1\) \(\forall x \in K, y\in\mathbb R^n\)
Für jede solche Funktion \(\psi\) gilt \(|(\psi * f)(x)-f(x)| \le \varepsilon \quad \forall x \in K\).
(Lemma 14.14)
