STA02_1

Unter einem Lagemaß versteht man einen einzelnen Wert innerhalb einer Verteilung, der in bestimmter Weise typisch für die Verteilung ist. Das bekannteste Lagemaß für metrische Merkmale ist der Mittelwert (Durchschnitt).

Das arithmetische Mittel x ist die statistische Kennzahl, die in der Regel mit dem Begriff „Durchschnitt“ assoziiert wird. Das arithmetische Mittel wird berechnet, indem man die Einzelwerte mit den absoluten oder relativen Häufigkeiten multipliziert, die Ergebnisse addiert und diese Summe durch die Anzahl der Einzelhäufigkeiten teilt (=gewichtetes arithmetisches Mittel).

Das geometrische Mittel x_G ist der Mittelwert wenn die einzelnen Werte für das Gesamtergebnis multipliziert werden müssen. Meist ist dies bei Wachstumsfaktoren der Fall. Berechnet wird das geometrische Mittel indem die Einzelwerte mit den absoluten oder relativen Häufigkeiten exponiert, die Ergebnisse multipliziert und die n-te Wurzel (n = Anzahl der Einzelwerte) gezogen wird. Soll mit Wachstumsraten gerechnet werden, sind diese vorher um 1 zu erhöhen. Vom Ergebnis ist dann umgekehrt 1 wieder abzuziehen.

Das harmonische Mittel x_H kommt dann zum Einsatz als Mittelwert, wenn die untersuchte Größe als Quotient gegeben ist und die Bezugsgröße (der Gewichtungsfaktor) der Einheit des Zählers entspricht.  Die Haupteinsatzgebiete des harmonischen Mittels sind Geschwindigkeiten, Anteile und Preise.  Das harmonische Mittel wird berechnet,  indem die Anzahl der Einzelwerte durch die Summe aus dem Quotienten aus absoluter oder relativer Häufigkeit und der Einzelwerte, geteilt werden.

Vorgehensweise nach dem Ausschlussprinzip:

• Liegt ein Wachstumsprozess vor? Ja à geometrisches Mittel
• Liegt die Einheit der Größe als Quotient vor 8z.B. km/h)?

àAuswahl zwischen harmonischen und arithmetischen Mittel nach folgendem Kriterium:

• Bezugsgröße entspricht der Zählereinheit à harmonisches Mittel
• Bezugsgröße entspricht der Nennereinheit à arithmetisches Mittel
• In allen anderen Fällen: arithmetisches Mittel

Der Modalwert (Modus) x_M bezeichnet die Merkmalsausprägung, welche die größte relative Häufigkeit aufweist. Der Modalwert kann grundsätzlich für alle Skalenarten verwendet werden. Bei stetigen Merkmalen oder metrischen Merkmalen mit vielen unterschiedlichen Ausprägungen ist in der Regel eine Klassierung notwendig. In diesem Fall wird normalerweise die Klassenmitte als Modalwert verwendet.

Der Modalwert sollte nur angegeben werden, wenn die betreffende Merkmalsausprägung deutlich häufiger als jede der übrigen vorkommt.

Der Zentralwert (Median) x_Z entspricht dem mittleren Wert, wenn alle Beobachtungswerte in einer aufsteigenden Reihenfolge angeordnet werden. Der Zentralwert kann grundsätzlich für mindestens ordinal skalierte Merkmale bestimmt werden, in bestimmten Fällen ist jedoch eine metrische Skala erforderlich. Bei klassierten Daten wird eine Näherungslösung verwendet, die einen Wert innerhalb der zentralen Klasse liefert.

Das Quantil x_P teilt die Menge der Beobachtungswerte in zwei Gruppen auf. Höchstens 100 ∙ p% der Werte sind dabei größer als x_P und höchstens 100 ∙ (1 - p)% der Werte kleiner als x_P (0<p<1). Das Quantil x_0,5 entspricht dem Zentralwert.

Quantile können grundsätzlich für mindestens ordinal skalierte Merkmale berechnet werden; in bestimmten Fällen ist jedoch eine metrische Skala erforderlich. Bei klassierten Daten wird eine Näherungslösung verwendet, die einen Wert innerhalb der entsprechenden Klasse liefert. In der praktischen Anwendung werden insbesondere Quartile, mit denen die Menge der Beobachtungswerte in vier gleich große Gruppen unterteilt wird, als Spezialfall von Quantilen verwendet. Sie werden oft in Form von Box Plots dargestellt.