Photonik TU 2019

einige µm bis 100nm, von Infrarot bis Ultraviolett

Dies ist der Bereich typischer atomarer Anregungsenergien und Austrittsarbeiten.

Sie ist die fundamentale Beziehung zwischen Feld und Materie

\(\vec{D} = \varepsilon_0(I+\tilde\chi) \vec{E} \qquad \vec{P} = \varepsilon_0 \tilde\chi \vec{E}\\ \tilde\varepsilon_r = I+\tilde\chi \\ \varepsilon_r = 1 + \chi\)

Die Polarisation P ist nicht instantan, daher ist chi frequenzabhängig.

Außerdem ist P und E nicht immer parallel -> chi im allgemeinen ein Tensor 2.Stufe

Vorallem bei hohen Feldern merkt man dann, dass chi auch Feldabhängig ist.

Außerdem hängt P nicht nur von der lokalen sondern auch vom umliegenden Feld ab.

im 

Man beginnt mit dem Induktionsgesetz und dem Ampere-Maxwell-Satz im ladungs- und stromfreien Feldgebiet.
\(\nabla \times E = - \partial_t \mu_0H \\ \nabla \times H = \partial_t D\\ \nabla \times (\nabla \times E) = -\partial_t^2\mu_0D \\ \nabla(\nabla \cdot E) -\nabla^2E = -\displaystyle \frac{\varepsilon_r}{c_0^2}\partial^2_t E\)

Wenn man die einfache Wellengleichung in den Frequenzbereich bringt.
\(\nabla^2 \tilde E(\vec x,\omega) + \displaystyle \frac{\omega^2 \varepsilon_r}{c_0^2} \tilde E( \vec x , \omega) = 0\)

\(E(\vec x, t) = Re[\tilde E(\vec x , t )] \\ \tilde E (\vec x , t) = \tilde E(\vec k , \omega) \; e^{-j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}\)

\vec{k} und \omega sind von einander abhängig
\(| \vec k | = k \qquad k^2 = \frac{\omega^2 \varepsilon_r }{c_0^2} \\ k_0 = \frac{\omega}{c_0}\)

Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit in Richtung des Wellenvektors \vec{k}.
Nach der Ableitung kann die Phasengeschwindigkeit ermittelt werden.

\(\vec k \cdot \vec x - \omega t = const \\ \vec k \cdot \partial_t \vec x - \omega = 0 \\ v_{ph} = |\partial_t \vec x| = \frac{\omega}{k} = \frac{c_0}{n}\)
wobei n den Brechungsindex angibt.

Über die Phasengeschwindigkeit  oder die relative Permitivität berechenbar.

\(v_{ph} = \displaystyle \frac{c_0}{n} \qquad n = \sqrt{\varepsilon_r} \\ \displaystyle n = \frac{k c_0}{\omega}\)

Am einfachsten anschaulich gemacht durch Überlagerung zweier kolinerarer harmonischer Wellen.
\(E(z,t) = Re\left[E_0 (e^{-j[(k^0 + \Delta k)z-(\omega_0 + \Delta\omega)t]} + e^{-j[(k^0 - \Delta k)z-(\omega_0 - \Delta\omega)t]})\right] = \\ = 2 E_0 \cos\left( z \Delta k - t \Delta \omega \right) \cos\left( \omega_0 t - k^0 z \right)\)
hier wurde k^0 anstatt k_0 benutzt um die ursprüngliche Kreiswellenzahl anzugeben da k_0 oft die Kreiswellenzwhl im Vakuum angibt...

Im zweiten Cosinusterm sieht man, dass sich die Phasenfronten weiterhin mit der Phasengeschwindigkeit ausbreiten.

Der erste Term zeigt die Einhüllende. Durch Ableitung des Arguments des Cosinus gelangen wir zu deren Ausbreitungsgeschwindigkeit.
\(z\Delta k - t \Delta \omega = const \\ \partial_t z = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = v_{g} \\ \; \\ k = \frac{n \omega}{c_0} \\ \displaystyle \frac{1}{v_g} = \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left( \frac{n \omega}{c_0} \right) = \frac{1}{c_0}\left( n + \omega \frac{\mathrm{d} n }{\mathrm{d} \omega} \right)\)