Elektrodynamik Mündlich Feiginov 2018

geometrische Objekte im Raum mit innerer Orientierung:

• Punkte - Plus,Minus
• Kurven - Durchlaufsinn
• Flächen - Drehsinn
• Volumina - Schraubsinn

Die innere Orientierung funktioniert ohne Bezug auf den umgebenden Raum.

Der Rand von konsistent orientierte Kurven beginnen im Punkt dem Minus zugeordnet ist und enden in einem Punkt mit Plus.\(\partial C = P_1 + P_2\) Kurve kann auch aus mehreren getrennten Teilen bestehen. Der Rand einer geschlossenen Kurve verschwindet.

Eine orientierte Fläche besitzt als Rand im Allgemeinen mehrere geschlossene Kurven.
Eine konsistente Orientierung liegt vor, wenn der Durchlaufsinn der Kurven mit dem Drehsinn der Fläche zusammenpasst. Geschlossene Flächen sind Randlos.

Die innere Orientierung von Volumen ist dann mit dem Rand (geschlossene Fläche) konsistent, wenn man sich mit dem gewählten Schraubsinn des Volumens von innen an dessen Rand annähert und der Drehsinn der Fläche mit dem Schraubsinn übereinstimmen.

Bei äußerer Orientierung geht man von räumlichen Bereichen aus, die man mit Plus oder Minus versieht. Deren Randflächen haben eine Orientierung von Plus nach Minus (umgekehrt wie bei den + und - der i.O.). Die Randkurven der Flächen haben einen Umschlingungssinn, welcher konsistent orientiert ist, wenn er mit dem Durchtrittssinn der Flächen zusammenpasst. Punkte bekommen jenen Schraubsinn zugeordnet, welcher sich beim Anwenden auf die Randpunkte nach innen gerichtet ergibt.

Einerseits sind nicht alle Bereiche eindeutig orientierbar, wie das Möbiusband.
Andererseits lassen sich innere in äußere Orientierung umrechnen. Wir verwenden standardmäßig für räumliche Bereiche die Rechtsschraube.

Kommutativität des Skalarproduktes
Antikommutativität des Vektorproduktes

Wir verwenden nur Basisvektoren die ein orthonormiertes System bilden (kein Basisvektor aus den anderen Darstellbar)
\(\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \begin{cases} 0 & \text{wenn }i\neq j \\ 1 & \text{wenn } i = j \end{cases}\)

Kronecker Delta.

Außerdem gilt beim Spatprodukt der Basisvektoren in der ursprünglichen Reihenfolge bzw mit einer geraden Anzahl an Vertauschungen =1. Bei ungerade -1 und wenn einer doppelt vorkommt =0.
Permutations-Epsilon.

Tensorprodukt ist nicht-kommutativ.
9 Koeffizienten eines Tensors 2ter Stufe.
Verjüngen von Vektoren durch Skalarprodukt von links oder rechts.
Links _ * # = |
Rechts # * | = |

Einstensor mit unterwelltem Kroneckerdelta. 

Vektoren und Tensoren umrechenbar von einem in ein anderes Koordinatensystem.
Ortsvektor bezüglich dem Ursprung unterschiedlich in den unterschiedlichen Systemen.

Orthogonale Koordinatensysteme stehen senkrecht aufeinander.
Tangentenvektoren der Koordinatenlinien durch fixieren von 2 Koordinaten und variieren der dritten.

Ein Feld heißt im Punkt P(r) differenzierbar wenn gilt:
\(\tilde{F}(\vec{r} +\vec{a}) = \tilde{F} + \vec{a}\cdot \tilde{G}(\vec{r}) + \tilde{o}(\vec{a}) \\ \text{mit }\vec{a}\rightarrow \vec{0}\qquad \tilde{G} = \vec{\nabla} \otimes \tilde{F}\)
G ist das Gradientenfeld von F

Nabla unterschiedlich in den unterschiedlichen Koordinatensystemen.
Zusätzlich muss Produktregel und Kettenregel beachtet werden. Und sein Wirkungsbereich klar definiert.

Divergenz Rotation und Gradient
In speziellen Koordinatensystemen können Basisvektoren ortsabhängig sein. Differentiation nach Alpha/Theta bei KZ und KK.

Bei Skalarfeld:
Gradient - > Vektor mit Richtung des lokal stärksten anstiegs.
Bei Vektorfeld:
Divergenz -> Quellendichte
Rotation -> Wirbeldichte (mit kleinen Rauen Kugeln vorstellbar) 

Identitäten

Green Transformation -> Satz von Gauß
Kelvin Transformation -> Satz von Stokes
mit Sprüngen

Darunter verstehen wir die räumlichen Verteilungen von elektr. Spannung und magn. Flüssen.
Deren Zuordnungen sind Linear \(U(C_1 + C_2) = U(C_1) + U(C_2) \quad U(-C) = -U(C)\)

Zwischen den Verteilungen besteht eine Kopplung -> Indunktionsgesetz
\(U(\partial A) = - \dot{\Phi}(A)\)
Außerdem sind magn. Flussverteilungen stets geschlossen -> Satz vom magn. Hüllenfluss
\(\Phi(\partial V) = 0\)

über die Integrale Darstellung und Satz von Stokes gelangt man zur lokalen Form.
\(U(C) = \displaystyle \int_C \vec{s} \cdot \vec{E} \:\mathrm{d}s \qquad \Phi(A) = \int_A \vec{n} \cdot \vec{B} \: \mathrm{d}A \\ \displaystyle U(\partial A) + \dot{\Phi}(A) = 0 = \\ \displaystyle \quad= \int_{\partial A} \vec{s} \cdot \vec{E} \:\mathrm{d}s + \partial_t \int_A \vec{n} \cdot \vec{B} \:\mathrm{d}A = \\ \displaystyle \quad = \int_{A'} \vec{n} \cdot (\vec{\nabla }\times\vec{E} + \partial_t \vec{B}) \:\mathrm{d}A + \int_{C'} \vec{s} \cdot [\![\vec{E}]\!] \: \mathrm{d}s = 0\)
Dies kann nur für alle Normal-, und Tangentenvektoren n und s gelten, wenn die Integranden selbst verschwinden.
Wobei das Verschwinden der Tangentialkomponente von dem Sprung von E gleichbedeutend mit \(\vec{n} \times [\![\vec{E}]\!] = \vec{0}\) ist.

Ähnliches führt mit dem Satz von Gauß zum lokalen Ausdruck für den Satz vom magn. Hüllenfluss.

Auch hier gibt es eine lineare Zuordnung von Größen zu Bereichen.
Jeder Fläche wird ein Wert der elektr. Stromstärke I(A) und jedem Volumen eine Ladung Q(V) zugeteilt.

Als fundamentale Eigenschaft -> Satz der Erhaltung der elektr. Ladung
\(I(\partial V) = -\dot{Q}(V)\)

Grundsätzlich besteht der Strom durch eine Fläche nicht nur aus der aufintegrierten Stromstärke sondern auch aus Flächenströmen oder auch einzelnen Leitern. Hier vernachlässigen wird das erstmal.
Die Ladung wird durch Raum-, und Flächenladungen repräsentiert.

Über den Satz von Gauß gelangen wir zum lokalen Ausdruck der Ladungserhaltung und deren Sprungbedingung.
\(\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \partial_t \varrho = 0 \quad \vec{n} \cdot[\![\vec{J}]\!] + \partial_t \sigma = 0\)

Zusätzlich gilt der Ampere-Maxwell-Satz und der Satz vom magn. Hüllenfluss.
\(V(\partial A) = I(A) + \dot{\Psi}(A)\qquad \Psi(\partial V) = Q(V)\)

Die vier lokale Gleichungen zusammen mit den Materialgleichungen. Außerdem sind die Sprungbedingungen an Rändern auch Für die Aufstellung der DGL wichtig, welche die Berechnung der Feldgrößen in komplexen Situationen ermöglicht.

Es gibt 2 Paare. Das erste Paar ernthält räumlichen und zeitlichen Ableitungen  von E und B. Die jeweiligen Größen von diesem Paar hängt auch vom gewählten Inertialsystem ab.
Das zweite Gleichungspaar bilden die Vektorfelder H und D und räumliche und zeitliche Ableitungen davon. Um die Wirbeldichte von H zu berechnen benötigt man zusätzlich noch die Stromdichte J. Für die Quellendichte von D noch zusätzlich die elektrische Ladungsdichte. 

Die Maxwell-Gleichungen bilden ein formales Gerüst, mit dem man erst wirklich über Verknüpfungsbeziehungen untereinander dynamische Systeme beschreiben kann.

Die Verknüpfung der Feldstärken mit den Flussdichten im elektr. und magn. Feld sind vorallem Geometrie und Materialabhängig. Ausschlaggebend sind die Kapazitäts- bzw Induktivitätskoeffizienten. Zuerst gehen wir allerdings vom leeren Raum aus:
\(\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} \qquad \vec{B} = \mu_0 \vec{H}\)

Im leeren Raum sind e_r und µ_r gleich 1 und es gilt \(\mu_0 \varepsilon_0 c_0 ^2 = 1\) 

Wenn man zunächst von materiellen Trägern absieht und elektrische Ladungen und Ströme kontinuierlich im Raum als Stromdichten und Flächenstromdichten bzw Raumladungsdichten und Flächenladungsdichten kennt. Lassen sich E und B Vollständig berechnen.

Um Ladungs und Strommomente höherer Ordnung zu berücksichtigen, wird in erster Näherung eine Mittelung angewendet und Rho und J entsprechend ersetzt.
\(\varrho \rightarrow \varrho - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \\ \vec{J} \rightarrow \vec{J} + \partial _t \vec{P} + \vec{\nabla} \times \vec{M}\)
dtP-Polarisationsstromdichte, nablaxM-Magnetisierungsstromdichte

Hierbei sind dan Rho und J die "wahren" makroskopisch feststellbaren Raumladungs-, und Stromdichten und die anderen Terme sind die Wirkung der Ladungs- und Strommomente erster und höherer Ordnung. die über die Vektorfelder der elektr. Polarisation P und der Magnetisierung M zusammengefasst sind.
Die Verknüpfungsbeziehungen im inneren von Körpern sind dann gegeben durch:
\(\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}\qquad \vec{H} = \frac{1}{\mu_0}\vec{B} - \vec{M}\)

Hier können nun die Vektorfelder E und B durch effektive Größen von Rho und J beschrieben werden, welche sich aus den "wahren" und den fiktiven Anteilen zusammensetzen.

(Wenn man anstatt H und D, B und D in den Maxwellgleichungen eliminiert, )