01

\(R\subseteq P(\Omega) \) heißt
\(\sigma\text{-ring, wenn }R \text{ein Ring ist und für jede Folge }(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{von Mengen aus } R \text{ gilt, dass}\\\cup_{n\in N} A_n\in R.\)

Sei \((\Omega, \mathbf{A}, \mu)\text{ ein Maßraum und }A,B\in\mathbf{A}\text{ dann gilt}\\A\subseteq B \Rightarrow \mu(A)\leq\mu(B)\)

\(\text{ein Maßraum und }(E_n)\subseteq \mathbf{A}\text{ eine Mengenfolge }\\ (1) (\text{stetigkeit von unten}) \text{falls } (E_n) \text{ monoton wächst}\\\ \mu(\lim_{n\to\infty} E_n)= \lim_{n\to\infty} \mu(E_n)\\ (2) (\text{Stetigkeit von Oben})\text{ falls }( E_n) \text{monoton fällt und }\mu(E_1)<\infty\\ \mu(\lim_{n\to\infty} E_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(E_n)\\( 3)\text{es gilt}\\ \mu(\liminf_{n\to\infty} E_n)\leq \liminf_{n\to\infty}\mu(E_n)\\( 4)\text{falls endlicher Maßraum }\\ \mu(\limsup_{n\to\infty} E_n)\geq \limsup_{n\to\infty}\mu(E_n)\)

\(v:P(\Omega)\to \bar{\mathbb{R}}^+ \text{ ein äußeres Maß}\\\text{ Dann bildet die Famile } \mathbf{A}=\mathbf{A}_{|v} \text{ aller bezüglich}\\\text{ v messbaren Mengen eine }\sigma\text{-algebra}\\ \text{und die Einschränkung } v_{|\mathbf{A}_v}\text{ ein Maß}\)

\(E\subseteq\Omega, v\text{ ein äußeres Maß auf } v(E)=0.\\\text{Dann ist }E\text{ messbar}\)

\(\mu,\mu^* \text{ zwie Maße auf einer }\sigma\text{-algebra}\mathbf{A}=\sigma(R)\\\text{ über} \Omega \text{ erzeugt von einem Ring } R \text{ mit}\\- \mu|R=\mu^*|R\\- \text{ es existiert eine wachsende Folge} E_n\subseteq\R\\\text{mit } \mu(E_n)=\mu(E_n)^*<\infty \forall n\in\mathbb{N}\\\text{und } \cup_{n\in\mathbb{N}} E_n=\Omega,\\\text{ dann gilt } \mu=\mu^*\)

\(\mu,\mu^* \text{ zwei Maße auf einer }\sigma\text{-algebra}\mathbf{A}=\sigma(\mathbf{E})\\\text{ über} \Omega \text{ erzeugt von einem }\cap-\text{-stabilen Erzeuger}\mathbf{E} \text{ mit}\\- \mu|\mathbf{E}=\mu^*|\mathbf{E}\\- \text{ es existiert eine wachsende Folge} E_n\subseteq\mathbf{E}\\\text{mit } \mu(E_n)=\mu(E_n)^*<\infty \forall n\in\mathbb{N}\\\text{und } \cup_{n\in\mathbb{N}} E_n=\Omega,\\\text{ dann gilt } \mu=\mu^*\)

\(v \text{ ein metrisches äußeres Maß auf }(\Omega,d)\\(A_j) \text{eine wachsende Folge von Teilmengen von }\Omega\\\text{ und } A=\lim_{j\to\infty} A_j=\cup_{j\in\mathbb{N}} A_j.\\\text{ Weiteres sei } d(A_j,A\backslash A_{j+1})>0 \forall j\in\mathbb{N}\\\text{ dann gilt } v(A)=\lim_{j\to\infty} v(A_j).\)